Courbe Représentative de la Fonction Racine Carrée | Mathématiques Seconde
Introduction à la courbe représentative de la fonction racine carrée
Découvrez la représentation graphique de la fonction f(x) = √x
Définition de la courbe représentative
Concept fondamental
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
La courbe représentative de f dans un repère (O, I, J) est l'ensemble des points M(x, y) tels que :
- x appartient à D
- y = f(x)
On la note souvent \( \mathcal{C}_f \).
On dit que le point M(x, f(x)) appartient à la courbe de f.
Pour la fonction racine carrée f(x) = √x, le domaine de définition est [0, +∞[.
Donc la courbe ne contient que des points d'abscisse positive ou nulle.
Allure de la courbe de la fonction racine carrée
Forme caractéristique
Voici un tableau de valeurs pour f(x) = √x :
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
- La courbe commence au point O(0, 0)
- Elle est située dans le premier quadrant (x ≥ 0, y ≥ 0)
- Elle est strictement croissante sur [0, +∞[
- Elle est concave (tournée vers le bas)
- Elle monte moins vite que la droite y = x
Propriétés de la fonction racine carrée
Caractéristiques importantes
La fonction racine carrée f(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[.
Cela signifie que si x₁ < x₂, alors √x₁ < √x₂.
Sur la courbe, cela se traduit par une pente toujours positive.
| x | 0 → +∞ |
|---|---|
| f(x) = √x |
0
|
La fonction racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs.
Si 0 ≤ a ≤ b, alors √a ≤ √b.
Exemple : 4 ≤ 9 donc √4 ≤ √9, soit 2 ≤ 3.
La courbe de la fonction racine carrée est concave sur ]0, +∞[.
Cela signifie que la courbe est "tournée vers le bas", contrairement à la parabole qui est convexe.
La fonction racine carrée croît de manière de plus en plus lente.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La fonction racine carrée permet de :
- Calculer des distances entre points
- Étudier des équations de cercles
- Résoudre des équations irrationnelles
- Modéliser des phénomènes de croissance racinaire
- 1 Calcul de vitesses en physique
- 2 Étude de phénomènes quadratiques
- 3 Modélisation de croissance
- 4 Statistiques (écart-type)
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f(x) = √x définie sur [0, +∞[.
1. Construire le tableau de valeurs pour x ∈ {0, 1, 4, 9, 16, 25}.
2. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
3. Déterminer graphiquement l'image de 6 par f.
4. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 2.
5. Comparer √7 et √10 sans calculatrice.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Voici le tableau de valeurs :
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1. Tracer un repère orthonormé (O, I, J)
2. Placer les points (0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (16,4), (25,5)
3. Relier les points par une courbe lisse
4. Veiller à ce que la courbe parte de l'origine et soit strictement croissante
On trace la verticale x = 6 et on lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe.
Graphiquement, on observe que √6 est compris entre 2 et 3.
Plus précisément, √6 ≈ 2.45.
On trace la droite horizontale y = 2 et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe.
On trouve x = 4.
On peut vérifier : f(4) = √4 = 2 ✓
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[.
Comme 7 < 10, alors √7 < √10.
Donc √7 est plus petit que √10.
Résumé
Points clés
La courbe représentative de f est l'ensemble des points M(x, f(x)) dans un repère.
Pour f(x) = √x, la courbe est définie sur [0, +∞[.
- Domaine de définition : [0, +∞[
- Sens de variation : strictement croissant
- Point de départ : (0, 0)
- Concave sur ]0, +∞[
- La courbe est située dans le premier quadrant
- Lire l'image d'un nombre x
- Trouver les antécédents d'une valeur y
- Résoudre graphiquement des équations
- Identifier les variations de la fonction
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences