Domaine de Définition de la Fonction Racine Carrée | Mathématiques Seconde
Introduction au domaine de définition de la fonction racine carrée
Découvrez les conditions d'existence de la fonction racine carrée
Définition de la fonction racine carrée
Concept fondamental
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout nombre réel positif ou nul x, associe le nombre \(\sqrt{x}\).
On la note : \( f(x) = \sqrt{x} \) ou \( x \mapsto \sqrt{x} \)
Elle est définie sur l'ensemble des réels positifs ou nuls : \([0, +\infty[\).
On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
On note : \( D_f = [0, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} \)
Cela signifie que la fonction est définie pour toutes les valeurs de x telles que x ≥ 0.
La fonction racine carrée est une fonction de référence.
Domaine de définition de la fonction racine carrée
Ensemble de définition
La racine carrée d'un nombre réel est définie seulement si le nombre est positif ou nul.
En effet, dans l'ensemble des réels, on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif.
Par exemple : \(\sqrt{-4}\) n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).
Donc pour que \(\sqrt{x}\) existe, il faut que x ≥ 0.
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Fonctions composées avec la racine carrée
Domaine de fonctions plus complexes
Pour qu'une fonction de la forme \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) soit définie, il faut :
- Que g(x) soit définie
- Que g(x) ≥ 0 (car on ne peut pas prendre la racine d'un nombre négatif)
Donc : \( D_f = \{x \in D_g \mid g(x) \geq 0\} \)
Soit \( f(x) = \sqrt{x - 2} \).
Pour que f(x) existe, il faut : x - 2 ≥ 0
Donc : x ≥ 2
Le domaine de définition est : \( D_f = [2, +\infty[ \)
Soit \( g(x) = \sqrt{-x + 3} \).
Pour que g(x) existe, il faut : -x + 3 ≥ 0
Donc : -x ≥ -3, soit x ≤ 3
Le domaine de définition est : \( D_g = ]-\infty, 3] \)
Soit \( h(x) = \sqrt{x^2 - 4} \).
Pour que h(x) existe, il faut : x² - 4 ≥ 0
Donc : x² ≥ 4, soit x ≥ 2 ou x ≤ -2
Le domaine de définition est : \( D_h = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[ \)
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La fonction racine carrée est utilisée pour :
- Calculer la distance entre deux points : \( \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
- Déterminer la longueur d'un segment
- Étudier des figures géométriques
- Résoudre des problèmes de configuration
- 1 Calcul de vitesses (v = √(2gh) en physique)
- 2 Étude de phénomènes quadratiques
- 3 Modélisation de croissance racinaire
- 4 Calculs en statistiques (écart-type)
Exercice d'application
Problème complet
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1. \( f(x) = \sqrt{3x - 6} \)
2. \( g(x) = \sqrt{-2x + 8} \)
3. \( h(x) = \sqrt{x^2 - 9} \)
4. \( k(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Pour que f(x) existe, il faut : 3x - 6 ≥ 0
Donc : 3x ≥ 6
Soit : x ≥ 2
Le domaine de définition est : \( D_f = [2, +\infty[ \)
Pour que g(x) existe, il faut : -2x + 8 ≥ 0
Donc : -2x ≥ -8
Soit : x ≤ 4 (attention au changement de sens de l'inégalité)
Le domaine de définition est : \( D_g = ]-\infty, 4] \)
x² - 9 ≥ 0
(x - 3)(x + 3) ≥ 0
On résout l'inéquation : x² - 9 = 0 ⇒ x = 3 ou x = -3
On fait un tableau de signe :
| x | -∞ → -3 | -3 → 3 | 3 → +∞ |
|---|---|---|---|
| x² - 9 | + | - | + |
Donc x² - 9 ≥ 0 sur ]-∞, -3] ∪ [3, +∞[
Le domaine de définition est : \( D_h = ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[ \)
Pour que k(x) existe, il faut : x² + 1 ≥ 0
Or, pour tout réel x, on a x² ≥ 0
Donc x² + 1 ≥ 1 > 0
Donc x² + 1 ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
Le domaine de définition est : \( D_k = \mathbb{R} \)
Résumé
Points clés
La fonction racine carrée est définie par : \( f(x) = \sqrt{x} \)
Elle est définie sur l'ensemble : \( D_f = [0, +\infty[ \)
La fonction \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) est définie si et seulement si :
- g(x) est définie
- g(x) ≥ 0
On résout l'inéquation g(x) ≥ 0 pour trouver le domaine de définition.
- Identifier l'expression sous la racine
- Résoudre l'inéquation "expression ≥ 0"
- Prendre en compte les conditions de définition de l'expression
- Donner le domaine de définition sous forme d'intervalles
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences