Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
- Identifier le radicande (l'expression sous la racine)
- Poser la condition : radicande ≥ 0
- Résoudre l'inéquation
- Donner le domaine de définition
\( f(x) = \sqrt{x} \)
Le radicande est : \( x \)
Pour que \( \sqrt{x} \) soit défini, il faut : \( x \geq 0 \)
\( x \geq 0 \)
Cette inéquation est déjà résolue.
L'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( x \geq 0 \) est : \( [0; +\infty[ \)
\( D_f = [0; +\infty[ \)
• Condition générale : \( \sqrt{A} \) existe \( \Leftrightarrow A \geq 0 \)
• Notation d'intervalle : \( [0; +\infty[ \) signifie \( x \geq 0 \)
• La borne 0 est incluse (crochet fermé)
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{x-3} \)
Le radicande est : \( x-3 \)
Pour que \( \sqrt{x-3} \) soit défini, il faut : \( x-3 \geq 0 \)
\( x-3 \geq 0 \)
\( x \geq 3 \)
L'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( x \geq 3 \) est : \( [3; +\infty[ \)
\( D_f = [3; +\infty[ \)
• Condition générale : \( \sqrt{A} \) existe \( \Leftrightarrow A \geq 0 \)
• Résolution d'inéquation : Ajouter 3 des deux côtés
• Notation d'intervalle : \( [3; +\infty[ \) signifie \( x \geq 3 \)
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{2x+4} \)
Le radicande est : \( 2x+4 \)
Pour que \( \sqrt{2x+4} \) soit défini, il faut : \( 2x+4 \geq 0 \)
\( 2x+4 \geq 0 \)
\( 2x \geq -4 \)
\( x \geq -2 \)
L'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( x \geq -2 \) est : \( [-2; +\infty[ \)
\( D_f = [-2; +\infty[ \)
• Condition générale : \( \sqrt{A} \) existe \( \Leftrightarrow A \geq 0 \)
• Résolution d'inéquation : Soustraire 4 puis diviser par 2
• Division par nombre positif : Le sens de l'inégalité ne change pas
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{-x+5} \)
Le radicande est : \( -x+5 \)
Pour que \( \sqrt{-x+5} \) soit défini, il faut : \( -x+5 \geq 0 \)
\( -x+5 \geq 0 \)
\( -x \geq -5 \)
\( x \leq 5 \)
(en divisant par -1, le sens de l'inégalité change)
L'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( x \leq 5 \) est : \( ]-\infty; 5] \)
\( D_f = ]-\infty; 5] \)
• Condition générale : \( \sqrt{A} \) existe \( \Leftrightarrow A \geq 0 \)
• Résolution d'inéquation : Diviser par un nombre négatif inverse le sens
• Notation d'intervalle : \( ]-\infty; 5] \) signifie \( x \leq 5 \)
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{x^2-4} \)
Le radicande est : \( x^2-4 \)
Pour que \( \sqrt{x^2-4} \) soit défini, il faut : \( x^2-4 \geq 0 \)
\( x^2-4 = (x-2)(x+2) \) (identité remarquable \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \))
| x | -∞ | -2 | 2 | +∞ |
| x+2 | - | 0 | + | + |
| x-2 | - | - | 0 | + |
| (x-2)(x+2) | + | 0 | 0 | + |
\( x^2-4 \geq 0 \) lorsque \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \)
L'ensemble des valeurs de \( x \) telles que \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \) est : \( ]-\infty; -2] \cup [2; +\infty[ \)
\( D_f = ]-\infty; -2] \cup [2; +\infty[ \)
• Factorisation : \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \)
• Tableau de signes : Pour étudier le signe d'un produit
• Union d'intervalles : Lorsque l'inéquation est satisfaite sur plusieurs parties disjointes
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{x^2-9x+20} \)
Le radicande est : \( x^2-9x+20 \)
Pour que \( \sqrt{x^2-9x+20} \) soit défini, il faut : \( x^2-9x+20 \geq 0 \)
\( x^2-9x+20 = 0 \)
\( \Delta = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1 > 0 \)
\( x_1 = \frac{9-\sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{9+\sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
\( x^2-9x+20 = (x-4)(x-5) \)
| x | -∞ | 4 | 5 | +∞ |
| x-4 | - | 0 | + | + |
| x-5 | - | - | 0 | + |
| (x-4)(x-5) | + | 0 | 0 | + |
\( x^2-9x+20 \geq 0 \) lorsque \( x \leq 4 \) ou \( x \geq 5 \)
\( D_f = ]-\infty; 4] \cup [5; +\infty[ \)
\( D_f = ]-\infty; 4] \cup [5; +\infty[ \)
• Résolution d'équation du second degré : Calcul du discriminant
• Signe d'un trinôme : Du signe de \( a \) sauf entre les racines
• Union d'intervalles : Lorsque l'inéquation est satisfaite sur plusieurs parties disjointes
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{(x-2)(x+3)} \)
Le radicande est : \( (x-2)(x+3) \)
Pour que \( \sqrt{(x-2)(x+3)} \) soit défini, il faut : \( (x-2)(x+3) \geq 0 \)
\( x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
\( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
| x | -∞ | -3 | 2 | +∞ |
| x+3 | - | 0 | + | + |
| x-2 | - | - | 0 | + |
| (x+3)(x-2) | + | 0 | 0 | + |
\( (x-2)(x+3) \geq 0 \) lorsque \( x \leq -3 \) ou \( x \geq 2 \)
\( D_f = ]-\infty; -3] \cup [2; +\infty[ \)
\( D_f = ]-\infty; -3] \cup [2; +\infty[ \)
• Produit de facteurs : Le signe dépend du nombre de facteurs négatifs
• Tableau de signes : Méthode systématique pour étudier le signe d'un produit
• Intervalle de solution : Là où le produit est positif ou nul
Conditions d'existence : Le quotient doit être positif ou nul, et le dénominateur non nul.
Pour que \( \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \) soit défini, il faut :
1. \( x+2 \neq 0 \) (dénominateur non nul)
2. \( \frac{x-1}{x+2} \geq 0 \) (expression sous la racine ≥ 0)
\( x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)
| x | -∞ | -2 | 1 | +∞ |
| x-1 | - | - | 0 | + |
| x+2 | - | ND | + | + |
| \(\frac{x-1}{x+2}\) | + | ND | 0 | + |
\( \frac{x-1}{x+2} \geq 0 \) lorsque \( x < -2 \) ou \( x \geq 1 \)
On exclut \( x = -2 \) (dénominateur nul)
Donc \( D_f = ]-\infty; -2[ \cup [1; +\infty[ \)
\( D_f = ]-\infty; -2[ \cup [1; +\infty[ \)
• Condition sur le dénominateur : Ne jamais oublier \( \text{dénominateur} \neq 0 \)
• Signe d'un quotient : Même signe que le produit du numérateur et du dénominateur
• Intervalle ouvert : On exclut les valeurs qui annulent le dénominateur
Condition d'existence : L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
\( f(x) = \sqrt{x^2+2x+5} \)
Le radicande est : \( x^2+2x+5 \)
Pour que \( \sqrt{x^2+2x+5} \) soit défini, il faut : \( x^2+2x+5 \geq 0 \)
\( x^2+2x+5 = 0 \)
\( \Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0 \)
Comme \( \Delta < 0 \) et \( a = 1 > 0 \), le trinôme est toujours strictement positif.
Donc \( x^2+2x+5 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
Puisque \( x^2+2x+5 \geq 0 \) pour tout réel \( x \), la fonction est définie sur \( \mathbb{R} \).
\( D_f = \mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[ \)
• Discriminant : Si \( \Delta < 0 \), le trinôme ne s'annule jamais
• Signe du trinôme : Du signe de \( a \) si \( \Delta < 0 \)
• Fonction définie partout : Lorsque le radicande est toujours ≥ 0
Condition d'existence : Les deux expressions sous les racines carrées doivent être positives ou nulles.
Pour que \( f(x) = \sqrt{x^2-x-6} + \sqrt{-x^2+4x+5} \) soit défini, il faut :
1. \( x^2-x-6 \geq 0 \)
2. \( -x^2+4x+5 \geq 0 \)
\( x^2-x-6 \geq 0 \)
\( x^2-x-6 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 24 = 25 \)
\( x_1 = \frac{1-5}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{1+5}{2} = 3 \)
\( x^2-x-6 = (x+2)(x-3) \)
Donc \( x^2-x-6 \geq 0 \) quand \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 3 \)
\( -x^2+4x+5 \geq 0 \)
\( -x^2+4x+5 = 0 \Rightarrow x^2-4x-5 = 0 \)
\( \Delta = 16 + 20 = 36 \)
\( x_1 = \frac{4-6}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{4+6}{2} = 5 \)
\( -x^2+4x+5 = -(x+1)(x-5) \)
Donc \( -x^2+4x+5 \geq 0 \) quand \( -1 \leq x \leq 5 \)
Condition 1 : \( x \in ]-\infty; -2] \cup [3; +\infty[ \)
Condition 2 : \( x \in [-1; 5] \)
Intersection : \( (]-\infty; -2] \cup [3; +\infty[) \cap [-1; 5] = [3; 5] \)
Les deux conditions sont satisfaites simultanément pour \( x \in [3; 5] \)
\( D_f = [3; 5] \)
• Somme de fonctions : Chaque fonction doit être définie
• Intersection d'ensembles : Les conditions doivent être toutes vérifiées
• Système d'inéquations : Solution commune aux différentes conditions
