Fonction racine carrée : f(x) = √x associe à chaque nombre positif ou nul x sa racine carrée √x.
f(x) = √x
f(0) = √0 = 0
f(1) = √1 = 1
f(4) = √4 = 2
f(9) = √9 = 3
f(0) = 0, f(1) = 1, f(4) = 2, f(9) = 3
f(0) = 0, f(1) = 1, f(4) = 2, f(9) = 3
• Racine carrée : √x est le nombre positif dont le carré est x
• Racine de 0 : √0 = 0
• Racine d'un carré parfait : √n² = n (n ≥ 0)
Comparaison de racines : Pour comparer √x et √y, on compare x et y car la fonction racine carrée est strictement croissante.
On compare √2 et √3
2 < 3
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si x < y, alors √x < √y
Comme 2 < 3, alors √2 < √3
√2 ≈ 1.41 et √3 ≈ 1.73
Effectivement, 1.41 < 1.73
√2 < √3 car 2 < 3 et la fonction racine carrée est croissante
• Fonction croissante : Si f est croissante et x < y, alors f(x) < f(y)
• Fonction racine carrée : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Comparaison : √x < √y ⟺ x < y (pour x, y ≥ 0)
Équation avec racine : √x = a (a ≥ 0) a pour solution x = a².
√x = 5
(√x)² = 5²
x = 25
x = 25 ≥ 0 ✓
5 ≥ 0 ✓
√25 = 5 ✓
S = {25}
• Équation √x = a (a ≥ 0) : Solution x = a²
• Domaine de définition : Toujours vérifier que x ≥ 0
• Condition de validité : Le membre de droite doit être ≥ 0
Courbe de la racine carrée : Courbe qui commence en (0,0) et monte de manière de plus en plus lente.
f(x) = √x
f(0) = 0, f(1) = 1, f(4) = 2, f(9) = 3
f(0.25) = 0.5, f(0.5) ≈ 0.71, f(2) ≈ 1.41, f(6) ≈ 2.45
Commencer en (0,0), relier les points par une courbe lisse
• La courbe est strictement croissante
• Elle commence en (0,0) et monte de plus en plus lentement
• Elle est située entièrement dans le quadrant supérieur droit
La courbe commence en (0,0), est strictement croissante et monte de plus en plus lentement
• Points de base : Calculer f(0), f(1), f(4), f(9), etc.
• Forme de la courbe : Courbe qui monte mais ralentit
• Domaine de définition : x ≥ 0 ⇒ courbe à droite de l'axe des ordonnées
Signe d'une racine carrée : La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive ou nulle.
f(x) = √x
Pour x ≥ 0 : √x ≥ 0 (racine carrée est toujours positive ou nulle)
√x = 0 si et seulement si x = 0
• Pour x > 0 : f(x) > 0
• Pour x = 0 : f(x) = 0
f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [0, +∞[
f(x) = 0 ⟺ x = 0
f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [0, +∞[, et f(x) = 0 ⟺ x = 0
• Signe d'une racine carrée : √x ≥ 0 pour x ≥ 0
• Annulation : √x = 0 ⟺ x = 0
• Positivité stricte : √x > 0 si x > 0
Fonction racine carrée : f(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[.
f(x) = √x
f(2.5) et f(3.7)
2.5 < 3.7
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂)
Comme 2.5 < 3.7, alors f(2.5) < f(3.7)
f(2.5) = √2.5 ≈ 1.58
f(3.7) = √3.7 ≈ 1.92
Effectivement, 1.58 < 1.92
f(2.5) < f(3.7) car 2.5 < 3.7 et la fonction racine carrée est croissante
• Comparaison de racines : √x₁ < √x₂ ⟺ x₁ < x₂
• Fonction croissante : Préserve l'ordre
• Stricte croissance : x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
Inéquation avec racine : √x ≤ a (a ≥ 0) équivaut à 0 ≤ x ≤ a² car la fonction racine carrée est strictement croissante.
√x ≤ 4
4 ≥ 0 ✓
(√x)² ≤ 4²
x ≤ 16
√x existe seulement si x ≥ 0
Donc on a 0 ≤ x ≤ 16
√x ≤ 4 ⟺ 0 ≤ x ≤ 16
S = [0, 16]
• Inéquation √x ≤ a (a ≥ 0) : Solution 0 ≤ x ≤ a²
• Utilisation de la croissance : Fonction strictement croissante préserve l'ordre
• Domaine de définition : x ≥ 0
Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.
f(x) = √x
√x existe si et seulement si x ≥ 0
Les valeurs de x pour lesquelles √x existe sont tous les réels x tels que x ≥ 0
Le domaine de définition est [0, +∞[
• Pour x = -1 : √(-1) n'existe pas
• Pour x = 0 : √0 = 0 existe
• Pour x = 4 : √4 = 2 existe
D_f = [0, +∞[
• Condition d'existence : √x existe ⟺ x ≥ 0
• Notation d'intervalle : [0, +∞[ désigne tous les réels ≥ 0
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs possibles pour x
Translation verticale : Ajouter une constante à une fonction ne change pas son sens de variation.
g(x) = √x + 2
g(x) = √x + 2
C'est la fonction racine carrée décalée de +2 verticalement
La fonction racine carrée x ↦ √x est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc g(x) = √x + 2 a les mêmes variations
Pour 0 ≤ x₁ < x₂ : √x₁ < √x₂ (car x ↦ √x est croissante)
Donc √x₁ + 2 < √x₂ + 2
Soit g(x₁) < g(x₂)
La fonction g est strictement croissante sur [0, +∞[
La fonction g est strictement croissante sur [0, +∞[
• Translation verticale : Ne change pas le sens de variation
• Conservation des variations : Ajouter une constante ne change pas les variations
• Fonction croissante : Si x₁ < x₂ alors f(x₁) < f(x₂)
Comparaison de fonctions : Sur ]0, 1[, √x > x car √x > x pour 0 < x < 1.
On travaille sur ]0, 1[, donc 0 < x < 1
Soit x ∈ ]0, 1[
Alors x² < x (car x < 1 ⇒ x² = x·x < x·1 = x)
Comme x² < x et que la fonction racine carrée est strictement croissante :
√(x²) < √x
Donc x < √x
Sur ]0, 1[, on a x < √x
Pour x = 0.25 : √x = 0.5 et x = 0.25
Effectivement, 0.25 < 0.5
Sur ]0, 1[, √x > x
Sur ]1, +∞[, √x < x
En x = 0 et x = 1, √x = x
Pour x ∈ ]0, 1[, on a √x > x
• Sur ]0, 1[ : √x > x car x² < x ⇒ x < √x
• Fonction croissante : Préservation de l'ordre par la racine carrée
• Points fixes : √x = x pour x = 0 et x = 1
