Fonction inverse : f(x) = 1/x associe à chaque nombre non nul x son inverse 1/x.
f(x) = 1/x
f(-2) = 1/(-2) = -1/2 = -0.5
f(-1) = 1/(-1) = -1
f(1) = 1/1 = 1
f(3) = 1/3 ≈ 0.33
f(-2) = -0.5, f(-1) = -1, f(1) = 1, f(3) = 1/3
f(-2) = -1/2, f(-1) = -1, f(1) = 1, f(3) = 1/3
• Inverse d'un nombre : 1/x est l'inverse de x
• Inverse d'un nombre négatif : 1/(-x) = -1/x
• Domaine de définition : x ≠ 0
Comparaison d'inverses : Pour comparer 1/x et 1/y, on compare x et y mais attention au sens de variation.
On compare 1/(-3) et 1/(-2)
-3 < -2 (et les deux sont négatifs)
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞, 0[
Donc, si x₁ < x₂ < 0, alors 1/x₁ > 1/x₂
Comme -3 < -2 < 0, alors 1/(-3) > 1/(-2)
1/(-3) = -1/3 ≈ -0.33 et 1/(-2) = -1/2 = -0.5
Effectivement, -0.33 > -0.5
1/(-3) > 1/(-2) car -3 < -2 et la fonction inverse est décroissante sur ]-∞, 0[
• Fonction décroissante : Si f est décroissante et x₁ < x₂, alors f(x₁) > f(x₂)
• Fonction inverse : Strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
• Comparaison : x₁ < x₂ ⇒ 1/x₁ > 1/x₂ (si x₁, x₂ ont même signe)
Équation avec inverse : 1/x = a a pour solution x = 1/a, avec a ≠ 0.
1/x = 2
1/x × x = 2 × x
1 = 2x
2x = 1
x = 1/2
x = 1/2 ≠ 0 ✓
1/(1/2) = 2 ✓
S = {1/2}
• Équation 1/x = a : Solution x = 1/a (a ≠ 0)
• Domaine de définition : Toujours vérifier que x ≠ 0
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation originale
Hyperbole : Courbe représentative de la fonction inverse, constituée de deux branches symétriques.
f(x) = 1/x
f(-3) = -1/3, f(-2) = -1/2, f(-1) = -1, f(-0.5) = -2
f(0.5) = 2, f(1) = 1, f(2) = 1/2, f(3) = 1/3
• Branche de gauche : x ∈ [-3, -0.5], y ∈ [-2, -1/3]
• Branche de droite : x ∈ [0.5, 3], y ∈ [1/3, 2]
• La courbe est symétrique par rapport à l'origine
• Elle est décroissante sur chaque intervalle
• Elle admet deux asymptotes : (Ox) et (Oy)
L'hyperbole a deux branches symétriques par rapport à l'origine, décroissantes sur chaque intervalle
• Deux branches : Une pour x < 0, une pour x > 0
• Symétrie : f(-x) = -f(x) ⇒ symétrie par rapport à O
• Asymptotes : x = 0 (verticale) et y = 0 (horizontale)
Signe d'un inverse : L'inverse d'un nombre a le même signe que le nombre.
f(x) = 1/x
Pour x > 0 : 1/x > 0 (inverse d'un nombre positif)
Pour x < 0 : 1/x < 0 (inverse d'un nombre négatif)
• Pour x > 0 : f(x) > 0
• Pour x < 0 : f(x) < 0
f(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, 0[
f(x) > 0 pour x ∈ ]0, +∞[
f(x) < 0 si x < 0, f(x) > 0 si x > 0
• Signe d'un inverse : 1/x a le même signe que x
• Domaine de définition : x ≠ 0
• Conservation du signe : Inverse d'un nombre conserve le signe
Fonction inverse : f(x) = 1/x est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[.
f(x) = 1/x
f(-1.5) et f(2)
-1.5 ∈ ]-∞, 0[ et 2 ∈ ]0, +∞[
f(-1.5) = 1/(-1.5) = -2/3 ≈ -0.67
f(2) = 1/2 = 0.5
-2/3 < 0.5
Donc f(-1.5) < f(2)
Sur ]-∞, 0[, f(x) < 0
Sur ]0, +∞[, f(x) > 0
Donc f(-1.5) < 0 < f(2)
f(-1.5) < f(2) car f(-1.5) < 0 et f(2) > 0
• Comparaison entre intervalles : On ne peut pas utiliser directement la monotonie
• Signe de la fonction : f(x) < 0 sur ]-∞, 0[ et f(x) > 0 sur ]0, +∞[
• Conclusion : Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif
Inéquation avec inverse : 1/x ≥ a nécessite une discussion selon le signe de x et de a.
1/x ≥ -1
• Si x > 0 : multiplier par x ne change pas le sens
• Si x < 0 : multiplier par x change le sens
1/x ≥ -1
1 ≥ -x (en multipliant par x > 0)
x ≥ -1
Comme x > 0, on a x > 0
1/x ≥ -1
1 ≤ -x (en multipliant par x < 0)
x ≤ -1
Comme x < 0, on a x ≤ -1
S = ]-∞, -1] ∪ ]0, +∞[
S = ]-∞, -1] ∪ ]0, +∞[
• Discussion de signe : Multiplier par x change le sens si x < 0
• Domaine de définition : x ≠ 0
• Union d'intervalles : Réunion des solutions sur chaque intervalle
Fonction impaire : Une fonction f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x dans son ensemble de définition.
f(x) = 1/x
f(-x) = 1/(-x) = -1/x
-f(x) = -1/x
f(-x) = -1/x et -f(x) = -1/x
Donc f(-x) = -f(x)
Pour tout x ≠ 0, f(-x) = -f(x)
Donc la fonction inverse est impaire
Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'origine
Pour tout x ≠ 0, f(-x) = -f(x), donc f est impaire
• Définition d'imparité : f(-x) = -f(x) pour tout x
• Propriété algébrique : 1/(-x) = -1/x
• Symétrie : Fonction impaire ⇒ symétrie par rapport à O
Translation verticale : Ajouter une constante à une fonction ne change pas son sens de variation.
g(x) = 1/x + 1
g(x) = 1/x + 1
C'est la fonction inverse décalée de +1 verticalement
La fonction inverse x ↦ 1/x est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
Donc g(x) = 1/x + 1 a les mêmes variations
Pour x₁ < x₂ < 0 : 1/x₁ > 1/x₂ (car x ↦ 1/x est décroissante)
Donc 1/x₁ + 1 > 1/x₂ + 1
Soit g(x₁) > g(x₂)
La fonction g est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
La fonction g est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
• Translation verticale : Ne change pas le sens de variation
• Conservation des variations : Ajouter une constante ne change pas les variations
• Fonction décroissante : Si x₁ < x₂ alors f(x₁) > f(x₂)
Comparaison de fonctions : Sur ]0, 1[, 1/x > x car 1/x > 1 > x.
On travaille sur ]0, 1[, donc 0 < x < 1
Comme 0 < x < 1, on a 1/x > 1
Car x < 1 ⇒ 1/x > 1/1 = 1
On a 1/x > 1 et x < 1
Donc 1/x > 1 > x
Soit 1/x > x
Pour x = 0.5 : 1/x = 2 et x = 0.5
Effectivement, 2 > 0.5
Sur ]0, 1[, pour tout x : 1/x > 1 > x
Donc 1/x > x
Pour x ∈ ]0, 1[, on a 1/x > x
• Sur ]0, 1[ : Si 0 < x < 1, alors 1/x > 1
• Comparaison : 1/x > 1 > x ⇒ 1/x > x
• Propriété de l'inverse : x × (1/x) = 1
