Fonction cube : f(x) = x³ associe à chaque nombre réel x son cube x³.
f(x) = x³
f(-2) = (-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8
f(0) = 0³ = 0 × 0 × 0 = 0
f(3) = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
f(-2) = -8, f(0) = 0, f(3) = 27
f(-2) = -8, f(0) = 0, f(3) = 27
• Cube d'un nombre : x³ = x × x × x
• Cube d'un nombre négatif : (-x)³ = -x³ (signe conservé)
• Cube de zéro : 0³ = 0
Comparaison de cubes : Pour comparer x³ et y³, on compare x et y car la fonction cube est strictement croissante.
On compare (-2)³ et (1)³
-2 < 1
La fonction cube est strictement croissante sur ℝ
Donc, si x < y, alors x³ < y³
Comme -2 < 1, alors (-2)³ < (1)³
(-2)³ = -8 et (1)³ = 1
Effectivement, -8 < 1
(-2)³ < (1)³ car -2 < 1 et la fonction cube est croissante
• Fonction croissante : Si f est croissante et x < y, alors f(x) < f(y)
• Fonction cube : Strictement croissante sur ℝ
• Comparaison : x³ < y³ ⟺ x < y
Équation cubique : x³ = a a une unique solution réelle : x = ∛a (racine cubique de a).
x³ = 8
On cherche x tel que x³ = 8
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
Donc x = 2 est une solution
La fonction cube est strictement croissante, donc l'équation x³ = 8 admet une unique solution
2³ = 8 ✓
S = {2}
• Équation x³ = a : Solution unique x = ∛a
• Unicité : La fonction cube est strictement croissante ⇒ injection
• Racine cubique : ∛8 = 2
Courbe cubique : Courbe représentative de la fonction cube, symétrique par rapport à l'origine.
f(x) = x³
f(-2) = -8, f(-1) = -1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 8
A(-2, -8), B(-1, -1), C(0, 0), D(1, 1), E(2, 8)
Relier les points par une courbe lisse en S
• La courbe est symétrique par rapport à l'origine
• Elle est strictement croissante sur ℝ
• Elle traverse l'axe des abscisses en (0, 0)
La courbe cubique est une S symétrique par rapport à l'origine, strictement croissante
• Points de base : Calculer f(-n), ..., f(n) pour n petit
• Symétrie : f(-x) = -f(x) ⇒ symétrie par rapport à O
• Forme : Courbe en forme de S
Signe d'un cube : Le cube d'un nombre réel a le même signe que le nombre.
f(x) = x³
Pour x > 0 : x³ > 0 (cube d'un nombre positif)
Pour x < 0 : x³ < 0 (cube d'un nombre négatif)
Pour x = 0 : x³ = 0
• Pour x > 0 : f(x) > 0
• Pour x < 0 : f(x) < 0
• Pour x = 0 : f(x) = 0
f(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, 0[
f(x) = 0 pour x = 0
f(x) > 0 pour x ∈ ]0, +∞[
f(x) < 0 si x < 0, f(x) = 0 si x = 0, f(x) > 0 si x > 0
• Signe d'un cube : x³ a le même signe que x
• Annulation : x³ = 0 ⟺ x = 0
• Conservation du signe : Cube d'un nombre conserve le signe
Fonction cube : f(x) = x³ est strictement croissante sur ℝ.
f(x) = x³
f(-1.5) et f(0.8)
-1.5 < 0.8
La fonction cube est strictement croissante sur ℝ
Donc, si x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂)
Comme -1.5 < 0.8, alors f(-1.5) < f(0.8)
f(-1.5) = (-1.5)³ = -3.375
f(0.8) = (0.8)³ = 0.512
Effectivement, -3.375 < 0.512
f(-1.5) < f(0.8) car -1.5 < 0.8 et la fonction cube est croissante
• Comparaison de cubes : x₁³ < x₂³ ⟺ x₁ < x₂
• Fonction croissante : Préserve l'ordre
• Stricte croissance : x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
Inéquation cubique : x³ ≥ a (a < 0) équivaut à x ≥ ∛a car la fonction cube est strictement croissante.
x³ ≥ -27
x³ = -27 ⇒ x = ∛(-27) = -3
Car (-3)³ = -27
f(x) = x³ est strictement croissante sur ℝ
On veut x³ ≥ -27
Comme f est strictement croissante et f(-3) = -27
Alors x³ ≥ -27 ⟺ x ≥ -3
x³ ≥ -27 ⟺ x ≥ -3
S = [-3, +∞[
• Inéquation x³ ≥ a : Solution x ≥ ∛a
• Utilisation de la croissance : Fonction strictement croissante préserve l'ordre
• Intervalles : [-3, +∞[ signifie x ≥ -3
Fonction impaire : Une fonction f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x dans son ensemble de définition.
f(x) = x³
f(-x) = (-x)³ = (-x) × (-x) × (-x) = -x³
-f(x) = -x³
f(-x) = -x³ et -f(x) = -x³
Donc f(-x) = -f(x)
Pour tout x ∈ ℝ, f(-x) = -f(x)
Donc la fonction cube est impaire
Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'origine
Pour tout x ∈ ℝ, f(-x) = -f(x), donc f est impaire
• Définition d'imparité : f(-x) = -f(x) pour tout x
• Propriété algébrique : (-x)³ = -x³
• Symétrie : Fonction impaire ⇒ symétrie par rapport à O
Translation verticale : Ajouter une constante à une fonction ne change pas son sens de variation.
g(x) = x³ + 2
g(x) = x³ + 2
C'est la fonction cube décalée de +2 verticalement
La fonction cube x ↦ x³ est strictement croissante sur ℝ
Donc g(x) = x³ + 2 a les mêmes variations
Pour x₁ < x₂ : x₁³ < x₂³ (car x ↦ x³ est croissante)
Donc x₁³ + 2 < x₂³ + 2
Soit g(x₁) < g(x₂)
La fonction g est strictement croissante sur ℝ
La fonction g est strictement croissante sur ℝ
• Translation verticale : Ne change pas le sens de variation
• Conservation des variations : Ajouter une constante ne change pas les variations
• Fonction croissante : Si x₁ < x₂ alors f(x₁) < f(x₂)
Comparaison de puissances : Sur ]0, 1[, les puissances successives d'un nombre diminuent.
On travaille sur ]0, 1[, donc 0 < x < 1
Comme 0 < x < 1, on a x² < x (car x < 1 ⇒ x² = x·x < x·1 = x)
On a x³ = x·x²
Comme 0 < x < 1 et x² < x, on a x³ = x·x² < x·x = x²
On a montré que x³ < x²
Pour x = 0.5 : x² = 0.25 et x³ = 0.125
Effectivement, 0.125 < 0.25
Sur ]0, 1[, pour n > m ≥ 1, on a xⁿ < xᵐ
Donc x³ < x² < x
Pour x ∈ ]0, 1[, on a x³ < x²
• Sur ]0, 1[ : Plus l'exposant est grand, plus la puissance est petite
• Produit de facteurs inférieurs à 1 : xⁿ⁺¹ = x·xⁿ < xⁿ si 0 < x < 1
• Ordre des puissances : x > x² > x³ > ... sur ]0, 1[
