Fonction carré : f(x) = x² associe à chaque nombre réel x son carré x².
f(x) = x²
f(-3) = (-3)² = (-3) × (-3) = 9
f(0) = 0² = 0 × 0 = 0
f(2) = 2² = 2 × 2 = 4
f(-3) = 9, f(0) = 0, f(2) = 4
f(-3) = 9, f(0) = 0, f(2) = 4
• Carré d'un nombre : x² = x × x
• Carré d'un nombre négatif : (-x)² = x² (toujours positif)
• Carré de zéro : 0² = 0
Comparaison de carrés : Pour comparer x² et y², on compare |x| et |y|.
On compare (-2)² et (3)²
|−2| = 2 et |3| = 3
2 < 3
Si |x| < |y|, alors x² < y²
Donc |−2| < |3| ⇒ (−2)² < 3²
(−2)² = 4 et 3² = 9
Effectivement, 4 < 9
(−2)² < 3² car |−2| < |3|
• Comparaison de carrés : x² < y² ⇔ |x| < |y|
• Valeur absolue : |x| est la distance de x à 0
• Carré d'un nombre : Toujours positif ou nul
Équation du second degré : x² = a avec a > 0 a deux solutions : ±√a.
x² = 9
On cherche x tel que x² = 9
3² = 9 et (-3)² = 9
Les solutions sont x = 3 et x = -3
3² = 9 ✓ et (-3)² = 9 ✓
S = {-3, 3}
• Équation x² = a (a > 0) : Solutions x = √a et x = -√a
• Symétrie : Si x² = a, alors (-x)² = a aussi
• Nombre de solutions : Deux solutions opposées
Parabole : Courbe représentative de la fonction carré, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
f(x) = x²
f(-3) = 9, f(-2) = 4, f(-1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9
A(-3, 9), B(-2, 4), C(-1, 1), D(0, 0), E(1, 1), F(2, 4), G(3, 9)
Relier les points par une courbe lisse en forme de U
• La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• Elle admet un minimum en (0, 0)
• Elle est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[
La parabole passe par les points calculés et est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• Points de base : Calculer f(-n), ..., f(n) pour n petit
• Symétrie : f(-x) = f(x) ⇒ symétrie par rapport à (Oy)
• Forme : Courbe en forme de U
Signe d'un carré : Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
f(x) = x²
Pour tout x ∈ ℝ, x² ≥ 0
x² = 0 si et seulement si x = 0
• Pour x ≠ 0 : x² > 0
• Pour x = 0 : x² = 0
f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
f(x) = 0 ⟺ x = 0
f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, et f(x) = 0 ⟺ x = 0
• Signe d'un carré : x² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
• Annulation : x² = 0 ⟺ x = 0
• Positivité stricte : x² > 0 si x ≠ 0
Fonction carré : f(x) = x² est décroissante sur ℝ⁻ et croissante sur ℝ⁺.
f(x) = x²
f(-1.5) et f(1.2)
|−1.5| = 1.5 et |1.2| = 1.2
1.5 > 1.2
Si |x| > |y|, alors x² > y²
Donc |−1.5| > |1.2| ⇒ (−1.5)² > (1.2)²
f(-1.5) = (-1.5)² = 2.25
f(1.2) = (1.2)² = 1.44
Effectivement, 2.25 > 1.44
f(-1.5) > f(1.2) car |−1.5| > |1.2|
• Comparaison de carrés : x² > y² ⟺ |x| > |y|
• Valeur absolue : Mesure la distance à zéro
• Symétrie : f(-x) = f(x) pour la fonction carré
Inéquation du second degré : x² ≤ a (a > 0) équivaut à -√a ≤ x ≤ √a.
x² ≤ 4
x² = 4 ⇒ x = 2 ou x = -2
f(x) = x² est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[
On veut x² ≤ 4
Sur ]-∞, 0], f est décroissante, donc x² ≤ 4 ⇒ x ≥ -2
Sur [0, +∞[, f est croissante, donc x² ≤ 4 ⇒ x ≤ 2
x² ≤ 4 ⟺ -2 ≤ x ≤ 2
S = [-2, 2]
• Inéquation x² ≤ a (a > 0) : Solution -√a ≤ x ≤ √a
• Utilisation des variations : Décroissance sur ℝ⁻ et croissance sur ℝ⁺
• Intervalles : [-2, 2] signifie -2 ≤ x ≤ 2
Fonction paire : Une fonction f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x dans son ensemble de définition.
f(x) = x²
f(-x) = (-x)² = (-x) × (-x) = x²
f(-x) = x² et f(x) = x²
Donc f(-x) = f(x)
Pour tout x ∈ ℝ, f(-x) = f(x)
Donc la fonction carré est paire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Pour tout x ∈ ℝ, f(-x) = f(x), donc f est paire
• Définition de parité : f(-x) = f(x) pour tout x
• Propriété algébrique : (-x)² = x²
• Symétrie : Fonction paire ⇒ symétrie par rapport à (Oy)
Minimum d'une fonction : La valeur minimale atteinte par une fonction sur son ensemble de définition.
f(x) = x² + 1
f(x) = x² + 1
C'est la fonction carré décalée de +1 verticalement
x² est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[
Donc f(x) = x² + 1 a les mêmes variations
Le minimum de x² est 0, atteint en x = 0
Donc le minimum de f(x) = x² + 1 est 0 + 1 = 1
f(0) = 0² + 1 = 1
Pour tout x ≠ 0, x² > 0, donc f(x) = x² + 1 > 1
Le minimum de f est 1, atteint en x = 0
• Translation verticale : f(x) = x² + k a un minimum en k
• Conservation des variations : Ajouter une constante ne change pas les variations
• Minimum de x² : Atteint en x = 0 avec valeur 0
Comparaison de puissances : Sur ]0, 1[, les puissances successives d'un nombre diminuent.
On travaille sur ]0, 1[, donc 0 < x < 1
Comme 0 < x < 1, on a x² < x (car x < 1 ⇒ x² = x·x < x·1 = x)
On a x³ = x·x²
Comme 0 < x < 1 et x² < x, on a x³ = x·x² < x·x = x²
On a montré que x³ < x²
Pour x = 0.5 : x² = 0.25 et x³ = 0.125
Effectivement, 0.125 < 0.25
Sur ]0, 1[, pour n > m ≥ 1, on a xⁿ < xᵐ
Pour x ∈ ]0, 1[, on a x³ < x², donc x² > x³
• Sur ]0, 1[ : Plus l'exposant est grand, plus la puissance est petite
• Produit de facteurs inférieurs à 1 : xⁿ⁺¹ = x·xⁿ < xⁿ si 0 < x < 1
• Ordre des puissances : x > x² > x³ > ... sur ]0, 1[
