Sens de variation : Pour f(x) = ax + b, si a > 0 alors f est croissante, si a < 0 alors f est décroissante.
f(x) = 2x + 3
Donc a = 2 et b = 3
a = 2 > 0
Comme a > 0, la fonction f est strictement croissante sur ℝ
La droite monte de gauche à droite
La fonction f est strictement croissante sur ℝ
• Signe du coefficient directeur : a > 0 ⇒ fonction croissante
• Représentation graphique : a > 0 ⇒ droite montante
• Notation : f ↗ sur ℝ
Fonction décroissante : Une fonction est décroissante si a < 0 dans f(x) = ax + b.
g(x) = -0.5x + 4
Donc a = -0.5 et b = 4
a = -0.5 < 0
Comme a < 0, la fonction g est strictement décroissante sur ℝ
La droite descend de gauche à droite
La fonction g est strictement décroissante sur ℝ
• Signe du coefficient directeur : a < 0 ⇒ fonction décroissante
• Représentation graphique : a < 0 ⇒ droite descendante
• Notation : g ↘ sur ℝ
Représentation graphique : Une fonction affine est représentée par une droite.
h(x) = -3x + 1
Donc a = -3 et b = 1
a = -3 < 0 ⇒ h est strictement décroissante sur ℝ
h(0) = -3×0 + 1 = 1 ⇒ Point A(0, 1)
h(1) = -3×1 + 1 = -2 ⇒ Point B(1, -2)
Tracer la droite passant par A(0, 1) et B(1, -2)
Comme a = -3 < 0, la droite est descendante de gauche à droite, donc h est décroissante
h est strictement décroissante sur ℝ. La droite passe par (0, 1) et (1, -2).
• Tracé : Deux points suffisent pour tracer une droite
• Variations : Dépendent du signe de a
• Ordonnée à l'origine : h(0) = b = 1
Fonction croissante : Si f est croissante et x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂).
f(x) = 0.75x - 2
Donc a = 0.75 > 0
a = 0.75 > 0 ⇒ f est strictement croissante sur ℝ
On compare 2 et 5
2 < 5
Comme f est croissante et 2 < 5, alors f(2) < f(5)
f(2) = 0.75×2 - 2 = 1.5 - 2 = -0.5
f(5) = 0.75×5 - 2 = 3.75 - 2 = 1.75
Effectivement, -0.5 < 1.75
f(2) < f(5) car f est croissante et 2 < 5
• Fonction croissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Fonction décroissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
• Comparaison directe : Utiliser le sens de variation sans calculer
Résolution d'inéquation : On peut utiliser les variations pour comparer des expressions.
2x - 1 ≤ 3x + 4
2x - 3x ≤ 4 + 1
-x ≤ 5
x ≥ -5
Soit f(x) = 2x - 1 et g(x) = 3x + 4
f est croissante (a = 2 > 0)
g est croissante (a = 3 > 0)
f(x) = g(x) ⇒ 2x - 1 = 3x + 4
-x = 5 ⇒ x = -5
La pente de g (3) est supérieure à celle de f (2)
Donc g croît plus rapidement que f
Pour x < -5 : f(x) > g(x)
Pour x = -5 : f(x) = g(x)
Pour x > -5 : f(x) < g(x)
Donc 2x - 1 ≤ 3x + 4 ⇔ x ≥ -5
S = [-5, +∞[
• Inéquation linéaire : Se ramène à x ≥ a ou x ≤ a
• Comparaison de fonctions affines : Dépend des coefficients directeurs
• Point d'intersection : Où les deux fonctions sont égales
Fonction croissante : Une fonction affine f(x) = ax + b est croissante si a > 0.
A(1, 2) et B(3, 6)
a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2
a = 2 > 0 ⇒ La fonction est bien croissante
Utilisons le point A(1, 2) : f(1) = 2
2 = 2×1 + b ⇒ b = 0
f(x) = 2x + 0 = 2x
f(1) = 2×1 = 2 ✓
f(3) = 2×3 = 6 ✓
f(x) = 2x (a = 2 > 0 donc croissante)
• Croissance : a > 0 pour une fonction croissante
• Calcul de a : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Calcul de b : Utiliser un point connu
Étude de signe : Déterminer quand f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0.
f(x) = -2x + 8
a = -2 < 0 ⇒ f est décroissante
f(x) = 0 ⇒ -2x + 8 = 0
-2x = -8 ⇒ x = 4
Comme f est décroissante et s'annule en x = 4 :
Pour x < 4 : f(x) > 0
Pour x = 4 : f(x) = 0
Pour x > 4 : f(x) < 0
x ∈ ]-∞, 4[ ⇒ f(x) > 0
x = 4 ⇒ f(x) = 0
x ∈ ]4, +∞[ ⇒ f(x) < 0
f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, 4[, f(x) = 0 pour x = 4, f(x) < 0 pour x ∈ ]4, +∞[
• Fonction décroissante : Change de signe de + à - en traversant la racine
• Fonction croissante : Change de signe de - à + en traversant la racine
• Racine : Valeur où la fonction s'annule
Classement par ordre croissant : Dépend du sens de variation de la fonction.
f(x) = -x + 5
a = -1 < 0 ⇒ f est strictement décroissante
On a -3 < 0 < 2
Si f est décroissante et x₁ < x₂, alors f(x₁) > f(x₂)
Donc : -3 < 0 < 2 ⇒ f(-3) > f(0) > f(2)
f(-3) = -(-3) + 5 = 3 + 5 = 8
f(0) = -0 + 5 = 5
f(2) = -2 + 5 = 3
En ordre croissant : f(2) < f(0) < f(-3)
Soit : 3 < 5 < 8
L'ordre croissant est : f(2), f(0), f(-3) soit 3, 5, 8
• Fonction décroissante : Renverse l'ordre des images
• Fonction croissante : Conserve l'ordre des images
• Classement : Dépend du sens de variation
Fonction décroissante : Une fonction affine f(x) = ax + b est décroissante si a < 0.
f(x) = ax + 3
Donc coefficient directeur = a, ordonnée à l'origine = 3
Pour que f soit décroissante, il faut que a < 0
Il suffit que a ∈ ]-∞, 0[
Si a = -1, alors f(x) = -x + 3 est décroissante
Si a = -5, alors f(x) = -5x + 3 est décroissante
Pour toute valeur a < 0, la fonction f(x) = ax + 3 est décroissante
Il faut que a < 0, soit a ∈ ]-∞, 0[
• Condition de décroissance : a < 0
• Condition de croissance : a > 0
• Fonction constante : a = 0
Comparaison de fonctions : Étudier le signe de la différence f(x) - g(x).
f(x) = 2x + 1 (a = 2 > 0 ⇒ croissante)
g(x) = x + 3 (a = 1 > 0 ⇒ croissante)
f(x) - g(x) = (2x + 1) - (x + 3) = 2x + 1 - x - 3 = x - 2
f(x) - g(x) = x - 2
• x - 2 < 0 ⇔ x < 2 ⇒ f(x) < g(x)
• x - 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ f(x) = g(x)
• x - 2 > 0 ⇔ x > 2 ⇒ f(x) > g(x)
Pour x ∈ [0, 1], on a x < 2
Donc f(x) - g(x) < 0, ce qui signifie f(x) < g(x)
Pour x = 0 : f(0) = 1, g(0) = 3 ⇒ f(0) < g(0) ✓
Pour x = 1 : f(1) = 3, g(1) = 4 ⇒ f(1) < g(1) ✓
Pour tout x ∈ [0, 1], f(x) < g(x)
• Comparaison : Étudier le signe de f(x) - g(x)
• Différence : Si f(x) - g(x) < 0 alors f(x) < g(x)
• Intervalle : Restreindre l'étude à l'intervalle donné
