Variations et Représentation Graphique des Fonctions Affines | Mathématiques Seconde
Introduction aux variations des fonctions affines
Découvrez comment le coefficient directeur influence les variations d'une fonction affine
Définition des variations d'une fonction affine
Concept fondamental
Une fonction affine est une fonction de la forme \( f(x) = ax + b \) où \( a \) et \( b \) sont des réels.
Les variations d'une fonction affine dépendent uniquement du coefficient directeur \( a \) :
- Si \( a > 0 \), la fonction est strictement croissante
- Si \( a < 0 \), la fonction est strictement décroissante
- Si \( a = 0 \), la fonction est constante
La fonction affine est monotone sur son ensemble de définition.
Graphiquement :
- Si a > 0, la droite monte de gauche à droite
- Si a < 0, la droite descend de gauche à droite
- Si a = 0, la droite est horizontale
Tableau de variations
Représentation des variations
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, le tableau de variations est simple :
Si a > 0 :
| x | -∞ → +∞ |
|---|---|
| f(x) |
-∞
|
Si a < 0 :
| x | -∞ → +∞ |
|---|---|
| f(x) |
+∞
|
Si a = 0 (fonction constante) :
| x | -∞ → +∞ |
|---|---|
| f(x) |
b
|
Représentation graphique
La droite représentative
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite :
- Le coefficient directeur a détermine la pente de la droite
- L'ordonnée à l'origine b est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées
- La droite passe par le point (0, b)
- La droite a pour équation y = ax + b
Pour tracer la droite représentative de f(x) = ax + b :
- Placer le point (0, b) : intersection avec l'axe des ordonnées
- Choisir une autre valeur de x (par exemple x = 1)
- Calculer f(1) = a + b
- Placer le point (1, a + b)
- Tracer la droite passant par les deux points
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les coefficients directeurs permettent de :
- Déterminer si deux droites sont parallèles (mêmes coefficients directeurs)
- Identifier des droites perpendiculaires (produit des coefficients = -1)
- Représenter des fonctions de coût, de vitesse, etc.
- Résoudre des systèmes d'équations linéaires
- 1 Calcul de coûts linéaires (prix = coefficient × quantité + forfait)
- 2 Modélisation de phénomènes linéaires (température, vitesse)
- 3 Analyse de tendances linéaires
- 4 Problèmes de proportionnalité
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction affine f(x) = -2x + 4.
1. Déterminer le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b.
2. Étudier les variations de la fonction f.
3. Tracer la droite représentative de f dans un repère orthonormé.
4. Déterminer l'antécédent de 0 par f.
5. Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 8 ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
La fonction est f(x) = -2x + 4.
On la compare à la forme générale f(x) = ax + b.
Le coefficient directeur est a = -2.
L'ordonnée à l'origine est b = 4.
Comme a = -2 < 0, la fonction f est strictement décroissante sur ℝ.
Tableau de variations :
| x | -∞ → +∞ |
|---|---|
| f(x) |
+∞
|
Pour tracer la droite d'équation y = -2x + 4 :
- Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est (0, 4)
- Choisissons x = 1 : f(1) = -2(1) + 4 = 2
- Un autre point est (1, 2)
- On trace la droite passant par (0, 4) et (1, 2)
La droite descend de gauche à droite car a < 0.
On cherche x tel que f(x) = 0 :
L'antécédent de 0 par f est 2.
On résout : f(x) = 8
Pour x = -2, on a f(x) = 8.
Résumé
Points clés
Une fonction affine est de la forme :
Où a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.
- Si a > 0 : la fonction est strictement croissante
- Si a < 0 : la fonction est strictement décroissante
- Si a = 0 : la fonction est constante
- La droite a pour équation y = ax + b
- Elle passe par le point (0, b)
- Le coefficient a détermine la pente
- Elle est croissante si a > 0, décroissante si a < 0
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences