Fonction Carré et Parabole | Fonctions de Référence Seconde
Introduction à la fonction carré et à sa parabole
Découvrez la fonction carré et sa représentation graphique
Définition de la fonction carré
Concept fondamental
La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre x².
On la note : \( f(x) = x^2 \) ou \( x \mapsto x^2 \)
Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels : \( \mathbb{R} \)
La fonction carré est une fonction de référence.
Voici quelques valeurs importantes de la fonction carré :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Représentation graphique - la parabole
Courbe représentative
La représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.
Cette parabole a pour équation : \( y = x^2 \)
Elle admet un axe de symétrie : l'axe des ordonnées (Oy).
Elle a un sommet en O(0, 0), qui est le point le plus bas de la parabole.
- La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
- Elle admet un sommet en O(0, 0)
- Elle est tournée vers le haut (concavité vers le haut)
- Elle est au-dessus de l'axe des abscisses (sauf au point O)
Variations de la fonction carré
Étude des variations
La fonction carré f(x) = x² est :
- Décroissante sur l'intervalle ]-∞, 0]
- Croissante sur l'intervalle [0, +∞[
Elle admet un minimum en x = 0, qui vaut f(0) = 0.
| x | -∞ → 0 | 0 | 0 → +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) |
+∞
|
0 |
0
|
Soient a et b deux nombres réels :
- Si 0 ≤ a ≤ b, alors a² ≤ b² (la fonction carré est croissante sur [0, +∞[)
- Si a ≤ b ≤ 0, alors a² ≥ b² (la fonction carré est décroissante sur ]-∞, 0])
Exemple : 2 < 3, donc 2² < 3², soit 4 < 9.
Exemple : -3 < -2, donc (-3)² > (-2)², soit 9 > 4.
Propriétés algébriques
Caractéristiques algébriques
La fonction carré est une fonction paire :
Cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Autrement dit, si le point M(x, y) appartient à la courbe, alors le point M'(-x, y) y appartient aussi.
La fonction carré est toujours positive ou nulle :
- Pour tout x ∈ ℝ, f(x) ≥ 0
- f(x) = 0 si et seulement si x = 0
- f(x) > 0 pour tout x ≠ 0
Équations : x² = a
- Si a > 0 : deux solutions x = √a et x = -√a
- Si a = 0 : une solution x = 0
- Si a < 0 : aucune solution
Inéquations : x² ≤ a
- Si a > 0 : x ∈ [-√a, √a]
- Si a = 0 : x = 0
- Si a < 0 : aucune solution
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La fonction carré permet de :
- Calculer des distances (formule de la distance dans un repère)
- Identifier des configurations de points
- Étudier des équations du second degré
- Modéliser des phénomènes quadratiques
- 1 Calcul d'aires (carré de côté x → aire = x²)
- 2 Physique (mouvement uniformément varié)
- 3 Économie (fonctions de coût quadratiques)
- 4 Architecture (formes paraboliques)
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f(x) = x² définie sur ℝ.
1. Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
2. Comparer f(-2) et f(-1), puis f(1) et f(2).
3. Résoudre l'équation f(x) = 4.
4. Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 9.
5. Donner le minimum de la fonction f sur ℝ et le point où il est atteint.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
On trace la parabole d'équation y = x² en utilisant un tableau de valeurs :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
On place les points dans un repère et on trace la courbe.
Calculons :
- f(-2) = (-2)² = 4
- f(-1) = (-1)² = 1
- f(1) = 1² = 1
- f(2) = 2² = 4
Donc :
- f(-2) = 4 et f(-1) = 1, donc f(-2) > f(-1)
- f(1) = 1 et f(2) = 4, donc f(1) < f(2)
Remarque : f(-2) = f(2) et f(-1) = f(1) car la fonction est paire.
x² = 4
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
Donc x = 2 ou x = -2
L'ensemble des solutions est {-2, 2}.
x² ≤ 9
x² - 9 ≤ 0
(x - 3)(x + 3) ≤ 0
Le produit est négatif ou nul quand x est entre -3 et 3.
Donc x ∈ [-3, 3]
L'ensemble des solutions est [-3, 3].
La fonction carré f(x) = x² est toujours positive ou nulle.
Elle est minimale en x = 0, où f(0) = 0.
Le minimum de la fonction f sur ℝ est 0, atteint en x = 0.
Résumé
Points clés
La fonction carré est définie par : \( f(x) = x^2 \)
Elle est définie sur ℝ (ensemble des réels).
- Décroissante sur ]-∞, 0]
- Croissante sur [0, +∞[
- Minimum en x = 0, valeur 0
- Fonction paire : f(-x) = f(x)
- Représentation graphique : parabole
- Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
- Toujours positive ou nulle
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences