Fonction Cube | Fonctions de Référence Seconde
Introduction à la fonction cube
Découvrez la fonction cube et ses propriétés caractéristiques
Définition de la fonction cube
Concept fondamental
La fonction cube est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre x³.
On la note : \( f(x) = x^3 \) ou \( x \mapsto x^3 \)
Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels : \( \mathbb{R} \)
La fonction cube est une fonction de référence.
Voici quelques valeurs importantes de la fonction cube :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x³ | -27 | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 | 27 |
Propriétés de la fonction cube
Caractéristiques importantes
Pour tout x ∈ ℝ, on a : \( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \)
Cela signifie que la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Autrement dit, si le point M(x, y) appartient à la courbe, alors le point M'(-x, -y) y appartient aussi.
La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.
En effet, pour tous réels a et b tels que a < b, on a a³ < b³.
Donc la fonction cube est strictement croissante sur l'ensemble de ℝ.
| x | -∞ → +∞ |
|---|---|
| f(x) = x³ |
-∞
|
Représentation graphique
Courbe de la fonction cube
La courbe de la fonction cube a une allure particulière :
- Elle passe par l'origine O(0, 0)
- Elle est symétrique par rapport à l'origine
- Elle est strictement croissante sur ℝ
- Elle est au-dessus de l'axe des abscisses pour x > 0
- Elle est en-dessous de l'axe des abscisses pour x < 0
La courbe de la fonction cube est une courbe appelée cubique.
Elle est plus "raide" que la parabole (fonction carré) pour les grandes valeurs de x.
Elle est plus "plate" que la parabole pour les petites valeurs de x.
Comparaison avec d'autres fonctions
Fonction cube vs autres fonctions
- Impaire
- Strictement croissante sur ℝ
- Change de concavité en O
- Peut être négative
- Paire
- Décroissante sur ]-∞, 0], croissante sur [0, +∞[
- Toujours positive ou nulle
- Minimum en x = 0
Pour x > 1, on a : x < x² < x³
La fonction cube croît plus rapidement que la fonction carré.
Plus généralement, pour x > 1 et n > m > 0 : x^m < x^n
Exemple : pour x = 2, on a 2 < 4 < 8, donc x < x² < x³.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La fonction cube permet de :
- Modéliser des phénomènes cubiques (volume)
- Étudier des équations du troisième degré
- Comprendre les transformations de fonctions
- Analyser des comportements non linéaires
- 1 Calcul de volume d'un cube (côté³)
- 2 Étude de phénomènes physiques (cinétique, dynamique)
- 3 Modélisation de croissance cubique
- 4 Problèmes d'optimisation
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f(x) = x³ définie sur ℝ.
1. Calculer f(-2), f(-1), f(0), f(1) et f(2).
2. Montrer que la fonction f est impaire.
3. Comparer f(1.5) et f(2), puis f(-1.5) et f(-2).
4. Résoudre l'équation f(x) = 8.
5. Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 1.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
- f(-2) = (-2)³ = -8
- f(-1) = (-1)³ = -1
- f(0) = 0³ = 0
- f(1) = 1³ = 1
- f(2) = 2³ = 8
On peut vérifier que f(-x) = -f(x) pour ces valeurs.
Pour montrer que f est impaire, on doit démontrer que pour tout x ∈ ℝ, f(-x) = -f(x).
Soit x ∈ ℝ, alors :
Donc la fonction f est impaire.
Comme f est strictement croissante sur ℝ :
- 1.5 < 2 ⇒ f(1.5) < f(2)
- -2 < -1.5 ⇒ f(-2) < f(-1.5), donc -8 < -3.375
On peut vérifier :
- f(1.5) = (1.5)³ = 3.375
- f(2) = 8
- Donc f(1.5) < f(2)
x³ = 8
x³ = 2³
Comme la fonction cube est strictement croissante, elle est bijective.
Donc x³ = 2³ ⇒ x = 2
L'ensemble des solutions est {2}.
x³ ≤ 1
x³ ≤ 1³
Comme la fonction cube est strictement croissante, on a :
x³ ≤ 1³ ⇒ x ≤ 1
L'ensemble des solutions est ]-∞, 1].
Résumé
Points clés
La fonction cube est définie par : \( f(x) = x^3 \)
Elle est définie sur ℝ (ensemble des réels).
- La fonction cube est impaire : f(-x) = -f(x)
- Elle est strictement croissante sur ℝ
- Elle est bijective de ℝ dans ℝ
- Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine
- Elle peut prendre des valeurs positives ou négatives
- La fonction cube est impaire, la fonction carré est paire
- La fonction cube est strictement croissante sur ℝ, la fonction carré ne l'est pas
- La fonction cube peut être négative, la fonction carré est toujours positive ou nulle
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences