Fonction Inverse et Hyperbole | Fonctions de Référence Seconde
Introduction à la fonction inverse et à l'hyperbole
Découvrez la fonction inverse et sa représentation graphique
Définition de la fonction inverse
Concept fondamental
La fonction inverse est la fonction qui, à tout nombre réel non nul x, associe son inverse.
On la note : \( f(x) = \frac{1}{x} \) ou \( x \mapsto \frac{1}{x} \)
L'ensemble de définition est : \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \)
La fonction inverse est une fonction de référence.
Voici quelques valeurs importantes de la fonction inverse :
| x | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 1/x | -0.25 | -0.5 | -1 | -2 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
Propriétés de la fonction inverse
Caractéristiques importantes
Pour tout x non nul, on a : \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \)
La fonction inverse est donc impaire.
Graphiquement, cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Si le point M(x, y) appartient à la courbe, alors le point M'(-x, -y) y appartient aussi.
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[.
Elle n'est pas monotone sur son ensemble de définition car elle est discontinue en 0.
Tableau de variations :
| x | -∞ → 0⁻ | 0 | 0⁺ → +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) |
0
|
|| |
+∞
|
Représentation graphique - l'hyperbole
Courbe de la fonction inverse
La représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
Elle se compose de deux branches symétriques par rapport à l'origine.
Elle admet deux asymptotes :
- L'axe des abscisses (y = 0) comme asymptote horizontale
- L'axe des ordonnées (x = 0) comme asymptote verticale
- Elle est composée de deux branches disjointes
- La branche de droite est dans le premier quadrant
- La branche de gauche est dans le troisième quadrant
- Les deux branches sont symétriques par rapport à l'origine
- La courbe ne coupe jamais les axes
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La fonction inverse permet de :
- Modéliser des relations de proportionnalité inverse
- Étudier des phénomènes physiques (pression/volume, vitesse/temps)
- Comprendre les comportements asymptotiques
- Résoudre des équations rationnelles
- 1 Loi de Boyle-Mariotte en physique
- 2 Problèmes de vitesse et de temps
- 3 Calculs en chimie (concentration)
- 4 Économie (offre et demande)
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) définie sur \( \mathbb{R}^* \).
1. Donner l'ensemble de définition de f.
2. Démontrer que f est impaire.
3. Comparer f(2) et f(3), puis f(-2) et f(-3).
4. Tracer l'allure de la courbe de f dans un repère orthonormé.
5. Identifier les asymptotes de la courbe.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est définie pour toutes les valeurs de x sauf celles qui annulent le dénominateur.
Le dénominateur x s'annule seulement quand x = 0.
Donc l'ensemble de définition est : \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \)
Pour montrer que f est impaire, on doit démontrer que pour tout x ∈ D_f, f(-x) = -f(x).
Soit x ≠ 0, alors :
Donc la fonction f est impaire.
Calculons :
- f(2) = 1/2 = 0.5
- f(3) = 1/3 ≈ 0.33
- f(-2) = 1/(-2) = -0.5
- f(-3) = 1/(-3) ≈ -0.33
Sur ]0, +∞[, f est strictement décroissante, donc 2 < 3 ⇒ f(2) > f(3), soit 0.5 > 0.33 ✓
Sur ]-∞, 0[, f est strictement décroissante, donc -3 < -2 ⇒ f(-3) > f(-2), soit -0.33 > -0.5 ✓
1. Tracer les axes du repère
2. Tracer les asymptotes : x = 0 (axe des ordonnées) et y = 0 (axe des abscisses)
3. Placer des points de la courbe en utilisant le tableau de valeurs
4. Tracer les deux branches de l'hyperbole en respectant la symétrie par rapport à l'origine
5. Veiller à ce que les branches s'approchent des asymptotes sans jamais les toucher
L'hyperbole admet deux asymptotes :
- Asymptote verticale : x = 0 (l'axe des ordonnées)
- Asymptote horizontale : y = 0 (l'axe des abscisses)
La courbe s'approche de ces droites sans jamais les toucher.
Résumé
Points clés
La fonction inverse est définie par : \( f(x) = \frac{1}{x} \)
Elle est définie sur \( \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \)
Son ensemble de définition ne contient pas 0.
- La fonction est impaire : f(-x) = -f(x)
- Elle est strictement décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
- Elle admet deux asymptotes : x = 0 et y = 0
- Elle est symétrique par rapport à l'origine
- Elle ne s'annule jamais
- La courbe est appelée hyperbole
- Elle a deux branches disjointes
- Elle s'approche des asymptotes sans les toucher
- Elle est au-dessus de l'axe des abscisses pour x > 0
- Elle est en-dessous de l'axe des abscisses pour x < 0
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences