Fonction affine : Une fonction de la forme f(x) = ax + b où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
La fonction f(x) = 3x - 5 est sous la forme f(x) = ax + b
f(x) = 3x - 5 = ax + b
Donc a = 3 et b = -5
• Coefficient directeur : a = 3 → La droite monte (croissante)
• Ordonnée à l'origine : b = -5 → La droite coupe l'axe des ordonnées en (0, -5)
• Coefficient directeur : a = 3
• Ordonnée à l'origine : b = -5
• Forme générale : f(x) = ax + b
• Coefficient directeur : a est le nombre multipliant x
• Ordonnée à l'origine : b est le terme constant
Calcul du coefficient directeur : Pour deux points A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂), a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
A(0, 2) et B(3, 8)
Donc x₁ = 0, y₁ = 2, x₂ = 3, y₂ = 8
a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (8-2)/(3-0) = 6/3 = 2
Puisque A(0, 2) est sur la droite, f(0) = b = 2
f(x) = ax + b = 2x + 2
f(0) = 2×0 + 2 = 2 ✓
f(3) = 2×3 + 2 = 8 ✓
f(x) = 2x + 2
• Calcul de a : a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
• Calcul de b : b = f(0) si le point d'abscisse 0 est connu
• Vérification : Remplacer les points connus dans l'expression trouvée
Fonction affine : f(x) = ax + b, avec a connu et un point (x₀,y₀) appartenant à la droite.
a = -2 (coefficient directeur)
Le point (1, 5) appartient à la droite
f(x) = -2x + b
Le point (1, 5) appartient à la droite, donc f(1) = 5
-2×1 + b = 5
-2 + b = 5
b = 5 + 2 = 7
f(x) = -2x + 7
f(x) = -2x + 7
• Utilisation du point connu : Si (x₀,y₀) ∈ (d), alors f(x₀) = y₀
• Résolution d'équation : Isoler b dans l'équation ax₀ + b = y₀
• Vérification : Remplacer le point dans l'expression trouvée
Image d'un nombre : L'image de x par f est f(x).
f(x) = -x + 4
f(0) = -0 + 4 = 4
f(1) = -1 + 4 = 3
f(-2) = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6
f(0) = 4, f(1) = 3, f(-2) = 6
f(0) = 4, f(1) = 3, f(-2) = 6
• Calcul d'image : Remplacer x par la valeur demandée dans l'expression f(x)
• Signe négatif : Attention au signe lors des substitutions
• Ordonnée à l'origine : f(0) = b, donc ici b = 4
Représentation graphique : Une fonction affine est représentée par une droite.
f(x) = 2x - 3
Donc a = 2 et b = -3
C'est le point (0, b) = (0, -3)
Choisir une valeur simple, par exemple x = 2
f(2) = 2×2 - 3 = 4 - 3 = 1
Donc le point (2, 1) est sur la droite
Tracer la droite passant par (0, -3) et (2, 1)
• a = 2 > 0 : La droite monte (fonction croissante)
• b = -3 : La droite coupe l'axe des ordonnées en -3
La droite passe par (0, -3) et (2, 1), avec une pente positive de 2
• Deux points suffisent : Pour tracer une droite, il suffit de deux points
• Point d'ordonnée à l'origine : (0, b)
• Sens de variation : Dépend du signe de a
Antécédent : L'antécédent de y par f est la valeur de x telle que f(x) = y.
On cherche x tel que f(x) = 7
Soit 0.5x + 2 = 7
0.5x = 7 - 2
0.5x = 5
x = 5 / 0.5 = 10
f(10) = 0.5×10 + 2 = 5 + 2 = 7 ✓
L'antécédent de 7 par f est 10
• Définition d'antécédent : Résoudre f(x) = y
• Équation du premier degré : Isoler x en effectuant les opérations inverses
• Vérification : Toujours vérifier la solution obtenue
Système d'équations : Pour déterminer une fonction affine, deux conditions suffisent.
f(x) = ax + b
f(2) = 5 → 2a + b = 5 ... (1)
f(4) = 9 → 4a + b = 9 ... (2)
Équation (2) - Équation (1) : (4a + b) - (2a + b) = 9 - 5
4a + b - 2a - b = 4
2a = 4
a = 2
Remplacer a = 2 dans (1) : 2×2 + b = 5
4 + b = 5
b = 1
f(x) = 2x + 1
f(2) = 2×2 + 1 = 5 ✓
f(4) = 2×4 + 1 = 9 ✓
f(x) = 2x + 1
• Système de deux équations : Deux conditions permettent de déterminer a et b
• Méthode de substitution ou combinaison : Pour résoudre le système
• Vérification : Toujours tester les valeurs trouvées
Système linéaire : Ensemble d'équations à résoudre simultanément.
f(x) = ax + b
f(1) = 3 → a + b = 3 ... (1)
f(3) = 7 → 3a + b = 7 ... (2)
Soustraire (1) de (2) : (3a + b) - (a + b) = 7 - 3
3a + b - a - b = 4
2a = 4
a = 2
Remplacer a = 2 dans (1) : 2 + b = 3
b = 3 - 2 = 1
f(1) = 2×1 + 1 = 3 ✓
f(3) = 2×3 + 1 = 7 ✓
a = 2 et b = 1
• Méthode de combinaison linéaire : Éliminer une variable en combinant les équations
• Système à deux inconnues : Deux équations suffisent pour déterminer a et b
• Substitution : Remplacer la valeur trouvée dans une autre équation
Étude de signe : Déterminer pour quelles valeurs de x la fonction est positive, négative ou nulle.
f(x) = -2x + 6
a = -2 < 0 et b = 6
f(x) = 0 → -2x + 6 = 0
-2x = -6
x = 3
a = -2 < 0 → La fonction est décroissante
• Pour x < 3 : f(x) > 0 (car f est décroissante et s'annule en 3)
• Pour x = 3 : f(x) = 0
• Pour x > 3 : f(x) < 0
f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, 3[
f(x) = 0 pour x = 3
f(x) < 0 pour x ∈ ]3, +∞[
f(x) > 0 si x < 3, f(x) = 0 si x = 3, f(x) < 0 si x > 3
• Signe d'une fonction affine : Dépend du coefficient directeur et de la racine
• Fonction croissante : Si a > 0, f change de signe de - à + en traversant la racine
• Fonction décroissante : Si a < 0, f change de signe de + à - en traversant la racine
Fonction affine par deux points : Une droite est déterminée par deux points distincts.
A(0, -1) et B(2, 5)
Donc x₁ = 0, y₁ = -1, x₂ = 2, y₂ = 5
a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (5-(-1))/(2-0) = 6/2 = 3
Puisque A(0, -1) est sur la droite, f(0) = b = -1
f(x) = ax + b = 3x - 1
f(0) = 3×0 - 1 = -1 ✓
f(2) = 3×2 - 1 = 6 - 1 = 5 ✓
f(x) = 3x - 1
• Calcul de a : a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
• Point sur l'axe des ordonnées : Si un point a pour abscisse 0, son ordonnée est b
• Vérification : Remplacer les deux points dans l'expression trouvée
