Fonction affine : Une fonction de la forme f(x) = ax + b où a est le coefficient directeur.
f(x) = 2x + 1
Donc a = 2 et b = 1
a = 2 > 0
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, si a > 0 alors f est strictement croissante
Soient x₁, x₂ ∈ ℝ avec x₁ < x₂
f(x₁) = 2x₁ + 1
f(x₂) = 2x₂ + 1
f(x₂) - f(x₁) = (2x₂ + 1) - (2x₁ + 1) = 2(x₂ - x₁)
Comme x₁ < x₂, on a x₂ - x₁ > 0
Donc 2(x₂ - x₁) > 0, soit f(x₂) - f(x₁) > 0
Donc f(x₂) > f(x₁)
La fonction f est strictement croissante sur ℝ
La fonction f est strictement croissante sur ℝ
• Fonction affine : f(x) = ax + b est croissante si a > 0, décroissante si a < 0
• Démonstration : Montrer que x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Calcul de différence : f(x₂) - f(x₁) pour déterminer le signe
Fonction affine décroissante : Une fonction affine f(x) = ax + b est décroissante si a < 0.
g(x) = -3x + 2
Donc a = -3 et b = 2
a = -3 < 0
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, si a < 0 alors f est strictement décroissante
Soient x₁, x₂ ∈ ℝ avec x₁ < x₂
g(x₁) = -3x₁ + 2
g(x₂) = -3x₂ + 2
g(x₂) - g(x₁) = (-3x₂ + 2) - (-3x₁ + 2) = -3(x₂ - x₁)
Comme x₁ < x₂, on a x₂ - x₁ > 0
Donc -3(x₂ - x₁) < 0, soit g(x₂) - g(x₁) < 0
Donc g(x₂) < g(x₁)
La fonction g est strictement décroissante sur ℝ
La fonction g est strictement décroissante sur ℝ
• Fonction affine : f(x) = ax + b est décroissante si a < 0
• Démonstration : Montrer que x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
• Calcul de différence : f(x₂) - f(x₁) pour déterminer le signe
Fonction carré : La fonction f(x) = x² est strictement croissante sur [0, +∞[.
f(x) = x²
On étudie f sur [0, +∞[
La fonction carré est strictement croissante sur [0, +∞[
5 < 8 et 5, 8 ∈ [0, +∞[
Comme f est strictement croissante sur [0, +∞[ et que 5 < 8
Alors f(5) < f(8)
f(5) = 5² = 25
f(8) = 8² = 64
Effectivement, 25 < 64
f(5) < f(8) car f est croissante sur [0, +∞[ et 5 < 8
• Fonction croissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Fonction carré : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Préservation de l'ordre : Fonction croissante préserve l'ordre
Tableau de variation : Outil qui résume le sens de variation d'une fonction sur son domaine de définition.
h(x) = -x + 4
Donc a = -1 et b = 4
a = -1 < 0, donc h est strictement décroissante sur ℝ
Quand x → -∞ : h(x) = -x + 4 → +∞
Quand x → +∞ : h(x) = -x + 4 → -∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| h(x) | +∞ | ↘ |
| -∞ |
• La flèche ↘ indique que la fonction est strictement décroissante
• La fonction va de +∞ à -∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| h(x) | +∞ | ↘ |
| -∞ |
• Structure du tableau : Domaine → Sens de variation → Valeurs aux bornes
• Flèches de variation : ↗ pour croissante, ↘ pour décroissante
• Valeurs aux bornes : Limites ou images des extrémités du domaine
Fonction racine carrée : La fonction k(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[.
k(x) = √x
√x existe si et seulement si x ≥ 0
Donc D_k = [0, +∞[
Soient x₁, x₂ ∈ [0, +∞[ avec x₁ < x₂
Supposons √x₁ ≥ √x₂
Alors (√x₁)² ≥ (√x₂)² (car la fonction carré est croissante sur [0, +∞[)
Donc x₁ ≥ x₂
Cela contredit x₁ < x₂
Donc √x₁ < √x₂
La fonction k est strictement croissante sur [0, +∞[
| x | 0 | +∞ |
|---|---|---|
| k(x) | 0 | ↗ |
| +∞ |
La fonction k est strictement croissante sur [0, +∞[
• Fonction racine carrée : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Démonstration par l'absurde : Supposer le contraire et aboutir à une contradiction
• Fonction carré : Croissante sur [0, +∞[
Fonction croissante : Si f est croissante sur I et x₁, x₂ ∈ I avec x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂).
f(x) = √x
√7 et √11
7 < 11
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si x₁ < x₂, alors √x₁ < √x₂
Comme 7 < 11, alors √7 < √11
√7 ≈ 2.65 et √11 ≈ 3.32
Effectivement, 2.65 < 3.32
√7 < √11 car 7 < 11 et la fonction racine carrée est croissante
• Fonction croissante : Si f est croissante et x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂)
• Fonction racine carrée : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Comparaison : √x₁ < √x₂ ⟺ x₁ < x₂ (pour x₁, x₂ ≥ 0)
Inéquation avec carré : Sur [0, +∞[, x² ≥ a (a > 0) équivaut à x ≥ √a.
x² ≥ 9 avec x ≥ 0
f(x) = x²
La fonction carré est strictement croissante sur [0, +∞[
x² ≥ 9 = 3²
Comme f est croissante sur [0, +∞[ et x² ≥ 3²
Alors x ≥ 3 (puisque x ≥ 0 et 3 ≥ 0)
Pour x = 3 : x² = 9 ≥ 9 ✓
Pour x = 4 : x² = 16 ≥ 9 ✓
Pour x = 2 : x² = 4 < 9 ✗
S = [3, +∞[
• Fonction croissante : x₁² ≥ x₂² ⇒ x₁ ≥ x₂ (si x₁, x₂ ≥ 0)
• Inéquation x² ≥ a (a > 0, x ≥ 0) : Solution x ≥ √a
• Domaine de définition : x ≥ 0
Fonction inverse : La fonction m(x) = 1/x est strictement décroissante sur ]0, +∞[.
m(x) = 1/x
1/x existe si et seulement si x ≠ 0
On étudie sur ]0, +∞[
Soient x₁, x₂ ∈ ]0, +∞[ avec x₁ < x₂
m(x₁) = 1/x₁ et m(x₂) = 1/x₂
m(x₁) - m(x₂) = 1/x₁ - 1/x₂ = (x₂ - x₁)/(x₁x₂)
Comme x₁ < x₂ : x₂ - x₁ > 0
Comme x₁, x₂ > 0 : x₁x₂ > 0
Donc (x₂ - x₁)/(x₁x₂) > 0
Soit m(x₁) - m(x₂) > 0, donc m(x₁) > m(x₂)
La fonction m est strictement décroissante sur ]0, +∞[
| x | 0⁺ | +∞ |
|---|---|---|
| m(x) | +∞ | ↘ |
| 0 |
La fonction m est strictement décroissante sur ]0, +∞[
• Fonction inverse : Strictement décroissante sur ]0, +∞[
• Démonstration : Calculer m(x₁) - m(x₂) et étudier son signe
• Signe d'un quotient : Dépend des signes du numérateur et du dénominateur
Fonction quadratique : La fonction p(x) = 2x² est strictement croissante sur [0, +∞[.
p(x) = 2x²
p(x) = 2 × x²
C'est la fonction carré multipliée par 2
La fonction f(x) = x² est strictement croissante sur [0, +∞[
Multiplier par un nombre positif (ici 2) ne change pas le sens de variation
Soient x₁, x₂ ∈ [0, +∞[ avec x₁ < x₂
Alors x₁² < x₂² (car x ↦ x² est croissante sur [0, +∞[)
Donc 2x₁² < 2x₂² (en multipliant par 2 > 0)
Soit p(x₁) < p(x₂)
La fonction p est strictement croissante sur [0, +∞[
La fonction p est strictement croissante sur [0, +∞[
• Multiplication par constante positive : Ne change pas le sens de variation
• Fonction carré : x² est croissante sur [0, +∞[
• Opérations sur les inégalités : Multiplication par un nombre positif préserve l'ordre
Comparaison de fonctions : Pour x ≥ 0, (x+1)² > x² car x+1 > x et la fonction carré est croissante.
(x+1)² et x²
On suppose x ≥ 0
Si x ≥ 0, alors x+1 > x
La fonction carré f(t) = t² est strictement croissante sur [0, +∞[
Or x ≥ 0 et x+1 > x ≥ 0
Donc f(x+1) > f(x), soit (x+1)² > x²
(x+1)² = x² + 2x + 1
(x+1)² - x² = 2x + 1
Si x ≥ 0, alors 2x + 1 ≥ 1 > 0
Donc (x+1)² > x²
Pour x = 2 : x² = 4 et (x+1)² = 9
Effectivement, 9 > 4
Pour x ≥ 0, (x+1)² > x²
• Fonction croissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Fonction carré : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Identité remarquable : (x+1)² = x² + 2x + 1
