Fonction affine : Une fonction de la forme f(x) = ax + b où a est le coefficient directeur.
f(x) = 2x + 3
Donc a = 2 et b = 3
f est définie sur ℝ
a = 2 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ
Quand x → -∞ : f(x) = 2x + 3 → -∞
Quand x → +∞ : f(x) = 2x + 3 → +∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| f(x) | -∞ | ↗ |
| +∞ |
• La flèche ↗ indique que la fonction est strictement croissante
• La fonction va de -∞ à +∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| f(x) | -∞ | ↗ |
| +∞ |
• Fonction affine : f(x) = ax + b est croissante si a > 0, décroissante si a < 0
• Tableau de variation : Domaine → Sens de variation → Valeurs aux bornes
• Flèches de variation : ↗ pour croissante, ↘ pour décroissante
Fonction affine décroissante : Une fonction affine f(x) = ax + b est décroissante si a < 0.
g(x) = -x + 5
Donc a = -1 et b = 5
g est définie sur ℝ
a = -1 < 0, donc g est strictement décroissante sur ℝ
Quand x → -∞ : g(x) = -x + 5 → +∞
Quand x → +∞ : g(x) = -x + 5 → -∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| g(x) | +∞ | ↘ |
| -∞ |
• La flèche ↘ indique que la fonction est strictement décroissante
• La fonction va de +∞ à -∞
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| g(x) | +∞ | ↘ |
| -∞ |
• Fonction affine : f(x) = ax + b est décroissante si a < 0
• Tableau de variation : Domaine → Sens de variation → Valeurs aux bornes
• Flèches de variation : ↗ pour croissante, ↘ pour décroissante
Fonction carré : La fonction h(x) = x² est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[.
h(x) = x²
On étudie h sur [-2, 2]
• Sur ]-∞, 0] : h est strictement décroissante
• Sur [0, +∞[ : h est strictement croissante
• Donc sur [-2, 0] : h est décroissante
• Et sur [0, 2] : h est croissante
h(-2) = (-2)² = 4
h(0) = 0² = 0 (minimum)
h(2) = 2² = 4
| x | -2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| h(x) | 4 | ↘ | 0 |
| 0 | ↗ | ||
| 4 |
• La fonction décroît de 4 à 0, puis croît de 0 à 4
• Elle admet un minimum en x = 0
| x | -2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| h(x) | 4 | ↘ | 0 |
| 0 | ↗ | ||
| 4 |
• Fonction carré : Décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[
• Minimum : En x = 0, h(0) = 0 est le minimum global
• Changement de variation : Indique un extremum local
Fonction racine carrée : La fonction k(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[.
k(x) = √x
On étudie k sur [0, 4]
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc k est strictement croissante sur [0, 4]
k(0) = √0 = 0
k(4) = √4 = 2
| x | 0 | 4 |
|---|---|---|
| k(x) | 0 | ↗ |
| 2 |
• La fonction croît de 0 à 2
• Elle est strictement croissante sur tout l'intervalle
| x | 0 | 4 |
|---|---|---|
| k(x) | 0 | ↗ |
| 2 |
• Fonction racine carrée : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Domaine de définition : x ≥ 0 pour √x
• Valeurs aux bornes : Calculer k(a) et k(b) pour [a, b]
Tableau de fonction affine : Un tableau de variations d'une fonction affine est monotone (toujours croissant ou toujours décroissant).
Une fonction affine a la forme f(x) = ax + b
• Si a > 0 : la fonction est strictement croissante
• Si a < 0 : la fonction est strictement décroissante
• Si a = 0 : la fonction est constante
• Le tableau ne contient pas de changement de variation
• Il n'y a pas d'extremum local
• La flèche est continue sur tout le domaine
| x | -∞ | +∞ |
|---|---|---|
| f(x) | -∞ | ↗ |
| +∞ |
• Une fonction affine ne peut pas avoir de maximum ou minimum local
• Elle est bijective si a ≠ 0
• Son graphe est une droite
Si un tableau de variations montre un changement de variation, ce n'est pas une fonction affine
Un tableau de variations d'une fonction affine ne présente aucun changement de variation
• Fonction affine : Pas d'extremum, variation monotone
• Identification : Absence de changement de variation ⇒ fonction affine
• Représentation : Flèche unique sur tout le domaine
Lecture de tableau : Utiliser le sens de variation pour comparer les images de deux valeurs.
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 1 | ↗ | 5 |
| 5 | ↘ | ||
| 3 |
Nous voulons comparer f(1) et f(3)
• 1 ∈ [0, 2] : f est croissante sur cet intervalle
• 3 ∈ [2, 4] : f est décroissante sur cet intervalle
Sur [0, 2], f est croissante et 1 < 2
Donc f(1) < f(2)
Sur [2, 4], f est décroissante et 2 < 3
Donc f(2) > f(3)
f(1) < f(2) et f(2) > f(3)
Cela ne permet pas de conclure directement sur f(1) et f(3)
Sur le tableau, on peut estimer :
f(1) ≈ 3 (car f(0)=1, f(2)=5, interpolation)
f(3) ≈ 4 (car f(2)=5, f(4)=3, interpolation)
Donc f(1) < f(3)
f(1) < f(3) selon le tableau de variations
• Lecture de tableau : Suivre les flèches pour connaître le sens de variation
• Comparaison : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) si f est croissante
• Attention : Ne pas comparer des valeurs sur des intervalles différents sans précaution
Maximum : Une fonction f admet un maximum M en x = a si f(x) ≤ M pour tout x du domaine de définition.
| x | -2 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| f(x) | -1 | ↗ | 3 |
| 3 | ↘ | ||
| -2 |
• Sur [-2, 1] : f est croissante
• Sur [1, 4] : f est décroissante
• Donc en x = 1, f passe de croissante à décroissante
Quand une fonction passe de croissante à décroissante, elle admet un maximum local
Le maximum est atteint en x = 1 et vaut f(1) = 3
Comparons avec les valeurs aux bornes :
f(-2) = -1, f(1) = 3, f(4) = -2
Donc 3 est bien la valeur maximale sur [-2, 4]
Le maximum de f sur [-2, 4] est 3, atteint en x = 1
Le maximum de f est 3, atteint en x = 1
• Reconnaissance d'extremum : Changement de variation ⇒ extremum
• Maximum local : Changement de croissante à décroissante
• Maximum global : Comparer avec les valeurs aux bornes
Résolution graphique : Utiliser le tableau de variations pour déterminer les solutions d'une inéquation.
| x | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | ↘ | 0 |
| 0 | ↗ | ||
| 3 |
Résoudre f(x) ≥ 2
On cherche les x tels que f(x) ≥ 2
• Sur [0, 2] : f est décroissante de f(0) = 4 à f(2) = 0
Comme f(0) = 4 ≥ 2 et f(2) = 0 < 2, il existe un x₁ ∈ [0, 2] tel que f(x₁) = 2
• Sur [2, 5] : f est croissante de f(2) = 0 à f(5) = 3
Comme f(2) = 0 < 2 et f(5) = 3 ≥ 2, il existe un x₂ ∈ [2, 5] tel que f(x₂) = 2
• Sur [0, x₁] : f est décroissante et f(x) ≥ f(x₁) = 2
• Sur [x₁, x₂] : f(x) ≤ 2 pour les x entre les deux points
• Sur [x₂, 5] : f est croissante et f(x) ≥ f(x₂) = 2
Les solutions de f(x) ≥ 2 sont x ∈ [0, x₁] ∪ [x₂, 5]
Où x₁ et x₂ sont les solutions de f(x) = 2
S = [0, x₁] ∪ [x₂, 5] où x₁ et x₂ sont les solutions de f(x) = 2
• Résolution graphique : Lire les intervalles où la fonction est au-dessus d'une valeur
• Monotonie : Utiliser la croissance/décroissance pour déterminer les solutions
• Continuité : Une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires
Complétion de tableau : Utiliser les propriétés des fonctions et les variations connues pour compléter un tableau.
| x | -1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f(x) | ? | ↘ | 1 |
| 1 | ↗ | ||
| ? |
On sait que f(2) = 1 et f(5) = 4
• Sur [-1, 2] : f est décroissante
• Sur [2, 5] : f est croissante
• Donc f admet un minimum en x = 2
On nous donne f(2) = 1
C'est le minimum de f sur [-1, 5]
On nous donne f(5) = 4
Sur [-1, 2], f est décroissante
Donc f(-1) > f(2) = 1
Supposons f(-1) = 3 (valeur plausible)
Sur [2, 5], f est croissante et f(5) = 4
Donc f(2) = 1 < f(5) = 4 ✓
| x | -1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | ↘ | 1 |
| 1 | ↗ | ||
| 4 |
| x | -1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | ↘ | 1 |
| 1 | ↗ | ||
| 4 |
• Compatibilité : Les valeurs doivent être cohérentes avec les variations
• Extremums : Repérer les changements de variation
• Monotonie : Respecter l'ordre des valeurs selon le sens de variation
Analyse complexe : Interpréter un tableau de variations avec plusieurs changements de variation.
| x | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | ↗ | 4 | ||
| 4 | ↘ | 0 | |||
| 0 | ↗ | 2 | |||
| 2 |
• Sur [-3, -1] : f est croissante
• Sur [-1, 1] : f est décroissante
• Sur [1, 3] : f est décroissante
• Sur [3, 5] : f est croissante
• En x = -1 : maximum local (f(-1) = 4)
• En x = 1 : pas d'extremum (f continue)
• En x = 3 : minimum local (f(3) = 0)
• f(-3) = 2, f(-1) = 4, f(1) = 0, f(3) = 0, f(5) = 2
• Le maximum global sur [-3, 5] est 4 (atteint en x = -1)
• Le minimum global sur [-3, 5] est 0 (atteint en x = 1 et x = 3)
• f est positive sur [-3, -2.5] ∪ [2.5, 5] (approximativement)
• f est négative sur [-2.5, 2.5] (approximativement)
Ce tableau permet de :
• Résoudre des inéquations
• Comparer des valeurs
• Déterminer le nombre de solutions d'équations
Le tableau résume complètement le comportement de la fonction sur l'intervalle [-3, 5]
La fonction admet un maximum global de 4 en x = -1 et un minimum global de 0 en x = 1 et x = 3
• Changements de variation : Indiquent des extremums locaux
• Maximum/minimum global : Comparer avec toutes les valeurs critiques
• Interprétation globale : Synthétiser toutes les informations du tableau
