Maximum : Valeur la plus grande prise par la fonction sur un intervalle.
- Observer la portion de courbe correspondant à l'intervalle [-2;4]
- Identifier le point le plus haut de cette portion
- Lire ses coordonnées (x_M, f(x_M))
- Le maximum est la valeur f(x_M)
On s'intéresse à la portion de la courbe entre x = -2 et x = 4
Sur l'intervalle [-2;4], le point le plus élevé est M(2; 5)
Le maximum est atteint en x = 2 et sa valeur est f(2) = 5
Pour tout x ∈ [-2;4], f(x) ≤ 5, donc 5 est bien le maximum
Le maximum de f sur [-2;4] est 5, atteint en x = 2
• Définition : M est un maximum si f(c) ≥ f(x) pour tout x dans l'intervalle
• Visualisation : Le maximum correspond au point le plus haut de la courbe
• Notation : Maximum = f(c) où c est l'abscisse du point
Minimum : Valeur la plus petite prise par la fonction sur un intervalle.
On examine la portion de la courbe entre x = 0 et x = 5
Sur l'intervalle [0;5], le point le plus bas est m(3; -2)
Le minimum est atteint en x = 3 et sa valeur est f(3) = -2
Pour tout x ∈ [0;5], f(x) ≥ -2, donc -2 est bien le minimum
Le minimum de g sur [0;5] est -2, atteint en x = 3
• Définition : m est un minimum si f(c) ≤ f(x) pour tout x dans l'intervalle
• Visualisation : Le minimum correspond au point le plus bas de la courbe
• Notation : Minimum = f(c) où c est l'abscisse du point
Extremums : Ensemble du maximum et du minimum sur un intervalle.
On étudie la fonction h sur [-1;3]
Le point le plus haut est M(1; 4), donc le maximum est 4
Le point le plus bas est m(-1; 1), donc le minimum est 1
Maximum = 4 atteint en x = 1, Minimum = 1 atteint en x = -1
Pour h sur [-1;3] : Maximum = 4 (atteint en x = 1), Minimum = 1 (atteint en x = -1)
• Complétude : Toujours chercher les deux extremums
• Identification : Lire les coordonnées précises
• Validation : Comparer avec les valeurs voisines
Extremum local : Maximum ou minimum dans un voisinage d'un point.
Un extremum local n'est pas forcément un extremum global
On repère les "pics" et "creux" de la courbe
Maximum local en x = -1 (valeur ≈ 3), Minimum local en x = 1 (valeur ≈ -1)
Ces points sont max/min dans leur voisinage immédiat
Sur [-3;3] : Maximum local ≈ 3 en x = -1, Minimum local ≈ -1 en x = 1
• Local vs Global : Un extremum local est relatif à un voisinage
• Identification : Points où la fonction change de sens de variation
• Notation : Indiquer que ce sont des extremums locaux
Domaine d'étude : Ensemble sur lequel on recherche les extremums.
La fonction montre un comportement particulier sur certains intervalles
Le point le plus haut est atteint en x = 2 avec f(2) = 6
Le maximum est atteint sur l'intervalle [-1;5]
Sur [-1;5], 6 est bien la valeur maximale atteinte
Le maximum est atteint sur l'intervalle [-1;5] en x = 2 avec f(2) = 6
• Contexte : L'intervalle est essentiel pour déterminer les extremums
• Précision : Toujours spécifier l'intervalle d'étude
• Compréhension : Le maximum dépend de l'ensemble de définition
Comparaison : Analyse des extremums relatifs de plusieurs fonctions.
f(x) = x² - 2x + 3 et g(x) = -x² + 4x - 1
f(x) = x² - 2x + 3 = (x-1)² + 2, donc minimum en x = 1, f(1) = 2
g(x) = -x² + 4x - 1 = -(x-2)² + 3, donc maximum en x = 2, g(2) = 3
Maximum de f = 2, Maximum de g = 3, donc g a un maximum plus grand
La fonction g a un maximum plus grand que la fonction f (3 > 2)
• Identification : Déterminer les extremums de chaque fonction
• Comparaison : Comparer les valeurs numériques
• Analyse : Interpréter les résultats dans le contexte
Fonction affine : f(x) = ax + b, représentée par une droite.
f(x) = 2x + 1 est une fonction affine strictement croissante
Sur [-2;3], la fonction est croissante donc le minimum est en -2 et le maximum en 3
Minimum : f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, Maximum : f(3) = 2(3) + 1 = 7
Pour une fonction affine, les extremums sont atteints aux bornes de l'intervalle
Pour f(x) = 2x + 1 sur [-2;3] : Minimum = -3 (en x = -2), Maximum = 7 (en x = 3)
• Monotonie : Une fonction affine monotone atteint ses extremums aux bornes
• Calcul : Substituer les bornes dans l'expression
• Propriété : Pas d'extremum local pour une fonction affine
Fonction carré : f(x) = x², parabole tournée vers le haut.
f(x) = x² est une fonction paire avec un minimum en x = 0
Sur [-2;3], la fonction décroît de x = -2 à x = 0, puis croît de x = 0 à x = 3
Le minimum est en x = 0 avec f(0) = 0
Comparer f(-2) = 4 et f(3) = 9, donc le maximum est 9 en x = 3
Pour f(x) = x² sur [-2;3] : Minimum = 0 (en x = 0), Maximum = 9 (en x = 3)
• Forme canonique : x² a un minimum en 0
• Comparaison : Comparer les valeurs aux bornes et au sommet
• Parité : Utiliser les propriétés de la fonction carré
Fonction inverse : f(x) = 1/x, définie sur ℝ*.
f(x) = 1/x est décroissante sur ]0;+∞[ et sur ]-∞;0[
Sur [1;4], la fonction est strictement décroissante
Maximum en x = 1 : f(1) = 1, Minimum en x = 4 : f(4) = 1/4
La fonction n'est pas continue en 0, donc on ne peut pas comparer les deux branches
Pour f(x) = 1/x sur [1;4] : Maximum = 1 (en x = 1), Minimum = 1/4 (en x = 4)
• Continuité : La fonction inverse n'est pas continue en 0
• Monotonie : Étudier le sens de variation sur l'intervalle
• Domaine : Tenir compte de l'ensemble de définition
Application : Modélisation d'une situation réelle par une fonction.
Une entreprise modélise son bénéfice par B(x) = -x² + 10x - 16, où x est la quantité produite
B(x) = -x² + 10x - 16 est une fonction du second degré avec a = -1 < 0
Le maximum est atteint en x = -b/(2a) = -10/(-2) = 5
B(5) = -(5)² + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9
Le bénéfice maximal est de 9 unités monétaires, obtenu en produisant 5 unités
Le bénéfice maximal est de 9 unités monétaires, atteint pour une production de 5 unités
• Modélisation : Associer la situation à une fonction mathématique
• Optimisation : Trouver les extremums pour optimiser les résultats
• Interprétation : Donner du sens aux résultats mathématiques
