Un nombre irrationnel a une écriture décimale :

• 1 Infinie
• 2 Non périodique

Il n'existe aucune séquence de chiffres qui se répète indéfiniment.

Il est impossible d'écrire un nombre irrationnel sous la forme \( \frac{p}{q} \) où p et q sont des entiers et q ≠ 0.

• 1 \( \sqrt{2} = 1,414213562373095... \) (démontré ci-dessus)
• 2 \( \sqrt{3} = 1,732050807568877... \)
• 3 \( \sqrt{5} = 2,23606797749979... \)
• 4 \( \sqrt{7} = 2,645751311064591... \)
• 5 \( \sqrt{10} = 3,162277660168379... \)

En général, si n est un entier positif qui n'est pas un carré parfait, alors √n est irrationnel.

• 1 \( \pi = 3,141592653589793... \) (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle)
• 2 \( e = 2,718281828459045... \) (base du logarithme népérien)
• 3 \( \varphi = 1,618033988749895... \) (nombre d'or)

• 1 \( \sqrt[3]{2} = 1,259921049894873... \)
• 2 \( \sqrt[3]{3} = 1,442249570307408... \)
• 3 \( \sqrt[3]{5} = 1,709975946676697... \)

En général, si n est un entier positif qui n'est pas un cube parfait, alors √[3]n est irrationnel.

• 1 \( \sqrt[4]{2} = 1,189207115002721... \)
• 2 \( \sqrt[5]{3} = 1,245730939615517... \)
• 3 \( \sqrt[n]{p} \) est irrationnel si p n'est pas une puissance n-ième d'un entier (et p > 0, n ≥ 2)

• 1 \( \log(2) = 0,693147180559945... \)
• 2 \( \log_{10}(2) = 0,301029995663981... \)
• 3 \( \log_2(3) = 1,584962500721156... \)

• 1 Racines non rationnelles : √2, √3, √5, etc.
• 2 Constantes connues : π, e, φ, etc.
• 3 Logarithmes non rationnels : log(2), log₁₀(2), etc.
• 4 Nombres construits spécialement : 0,101001000100001...

Un nombre est irrationnel si son écriture décimale :

• 1 Est infinie
• 2 Ne présente aucune période répétitive
• 3 Les décimales semblent apparaître de manière aléatoire

Exemple : 0,101001000100001000001... (nombre de Liouville)

• 1 Preuve par l'absurde (comme pour √2)
• 2 Utilisation de théorèmes spécifiques
• 3 Montrer que l'écriture décimale est infinie non périodique

Dans un carré de côté 1, la diagonale mesure √2, qui est irrationnel.

Cette découverte a profondément marqué l'histoire des mathématiques.

Le périmètre d'un cercle de rayon r est 2πr, où π est irrationnel.

• Constante gravitationnelle : G ≈ 6,674×10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻²
• Vitesse de la lumière : c = 299 792 458 m/s (exactement, mais dans d'autres unités c'est irrationnel)
• Constante de Planck réduite : ħ ≈ 1,054×10⁻³⁴ J·s

• Nombre d'or (φ) dans les spirales de coquillages et les proportions artistiques
• Ratio d'or dans l'architecture et la peinture
• Modèles fractals dans la nature (fougères, choux romanesco)

1. \( \sqrt{9} = 3 \), donc c'est rationnel (3 = 3/1)
2. \( \sqrt{10} \), 10 n'est pas un carré parfait, donc c'est irrationnel
3. \( \frac{\pi}{2} \), comme π est irrationnel, \( \frac{\pi}{2} \) est aussi irrationnel
4. \( \sqrt[3]{8} = 2 \), donc c'est rationnel (2 = 2/1)
5. \( \sqrt[3]{10} \), 10 n'est pas un cube parfait, donc c'est irrationnel

Le nombre 0,101001000100001... a la particularité suivante :

• Le nombre de zéros entre deux uns augmente à chaque fois
• La suite des décimales ne se répète jamais
• Il n'y a aucune période qui se répète indéfiniment

Donc ce nombre a une écriture décimale infinie non périodique, ce qui prouve qu'il est irrationnel.

La somme de deux irrationnels peut être rationnelle ou irrationnelle :

• \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) est irrationnel
• \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \) est rationnel

Le produit de deux irrationnels peut être rationnel ou irrationnel :

• \( \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} \) est irrationnel
• \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \) est rationnel

• Soit r rationnel et i irrationnel
• r + i est toujours irrationnel
• r × i est irrationnel si r ≠ 0
• r / i est irrationnel si i ≠ 0
• i / r est irrationnel si r ≠ 0

Entre deux réels quelconques, il existe toujours un nombre rationnel.

Par exemple, entre √2 ≈ 1,414 et √3 ≈ 1,732, il y a 3/2 = 1,5.

Entre deux réels quelconques, il existe toujours un nombre irrationnel.

Par exemple, entre 1 et 2, il y a √2 ≈ 1,414.

Bien que les deux ensembles soient denses, il y a "plus" de nombres irrationnels que de rationnels :

• L'ensemble ℚ des rationnels est dénombrable
• L'ensemble ℝ\ℚ des irrationnels est indénombrable
• En fait, presque tous les nombres réels sont irrationnels

1. 1 Identifier la forme du nombre : fraction, racine, constante, etc.
2. 2 Vérifier s'il s'agit d'une constante connue (π, e, φ)
3. 3 Pour les racines : est-ce un carré/cube/puissance parfaite ?
4. 4 Examiner l'écriture décimale : est-elle finie ou infinie périodique ?
5. 5 Si nécessaire : appliquer une preuve par l'absurde

• Les entiers et fractions sont rationnels
• Les racines de nombres non parfaits sont souvent irrationnelles
• Les constantes mathématiques célèbres sont souvent irrationnelles
• Les nombres avec décimales non répétitives sont irrationnels
• Attention : certains nombres ressemblent à des irrationnels mais sont rationnels

• 1 Confondre √4 = 2 (rationnel) avec √2 (irrationnel)
• 2 Croire que tous les nombres avec "beaucoup" de décimales sont irrationnels
• 3 Penser que la somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle
• 4 Oublier que certains nombres peuvent sembler irrationnels mais être rationnels

• \( \sqrt{4} = 2 \) est rationnel
• \( \sqrt{9} = 3 \) est rationnel
• \( \sqrt{16} = 4 \) est rationnel
• \( \sqrt{2,25} = 1,5 = \frac{3}{2} \) est rationnel
• \( \sqrt{0,25} = 0,5 = \frac{1}{2} \) est rationnel

• Un nombre qui n'est pas rationnel
• Impossible à écrire sous forme de fraction de deux entiers
• Écriture décimale infinie non périodique

• \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, ... \)
• \( \pi, e, \varphi \)
• \( \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{3}, ... \)

• Vérifier si c'est une racine d'un nombre non parfait
• Identifier les constantes connues
• Analyser l'écriture décimale
• Utiliser des démonstrations par l'absurde