Nombre irrationnel : Un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme \( \frac{a}{b} \) où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
- Supposer que le nombre est rationnel
- Exprimer ce nombre comme fraction réduite
- Arriver à une contradiction
- Conclure que le nombre est irrationnel
Supposons que \( \sqrt{2} \) est rationnel.
Alors il existe des entiers a et b (b ≠ 0) tels que \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \).
\( 2 = \frac{a^2}{b^2} \)
\( 2b^2 = a^2 \)
\( a^2 = 2b^2 \) donc \( a^2 \) est pair
Donc a est pair (car le carré d'un impair est impair)
Donc a = 2k pour un certain entier k
\( a^2 = (2k)^2 = 4k^2 \)
\( 2b^2 = 4k^2 \)
\( b^2 = 2k^2 \)
\( b^2 = 2k^2 \) donc \( b^2 \) est pair
Donc b est pair
Mais alors a et b sont tous deux pairs, donc la fraction \( \frac{a}{b} \) n'est pas irréductible
Ceci contredit notre hypothèse initiale
\( \sqrt{2} \) est irrationnel
• Méthode : Raisonnement par l'absurde
• Propriété : Carré d'un nombre impair est impair
• Contradiction : Fraction non irréductible
Nombres rationnels : Ensemble des nombres pouvant s'écrire sous la forme \( \frac{a}{b} \) où a, b ∈ ℤ et b ≠ 0.
\( \sqrt{4} = 2 \)
\( 2 = \frac{2}{1} \)
Donc 2 s'exprime comme quotient de deux entiers.
\( \sqrt{4} = 2 \) est un nombre rationnel.
\( \sqrt{4} = 2 \) est rationnel
• Définition : Un entier est rationnel
• Caractéristique : Les racines carrées des carrés parfaits sont rationnelles
• Exemple : \( \sqrt{n^2} = n \) (entier) ⇒ rationnel
Nombres irrationnels : Ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
\( 3 \) est un nombre premier
\( 3 \) n'est pas un carré parfait
Théorème : Si p est un nombre premier, alors \( \sqrt{p} \) est irrationnel.
Comme 3 est premier, \( \sqrt{3} \) est irrationnel.
\( \sqrt{3} \) est irrationnel
• Théorème : Racine carrée d'un nombre premier est irrationnelle
• Généralisation : Racine carrée d'un nombre non-carré parfait
• Propriété : Irrationnel ⇔ Pas de quotient d'entiers
Simplification de racines : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) pour a, b ≥ 0.
\( 8 = 4 \times 2 = 2^2 \times 2 \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{2^2 \times 2} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
Or \( \sqrt{2} \) est irrationnel
Donc \( 2\sqrt{2} \) est irrationnel (produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel)
\( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) est irrationnel
• Simplification : Extraire les carrés parfaits
• Propriété : Produit rationnel × irrationnel = irrationnel
• Caractéristique : Racine non simplifiable en rationnel
Théorème fondamental : La racine carrée d'un nombre premier est irrationnelle.
\( 5 \) est un nombre premier
\( 5 \) n'est pas un carré parfait
Théorème : Si p est un nombre premier, alors \( \sqrt{p} \) est irrationnel.
Comme 5 est premier, \( \sqrt{5} \) est irrationnel.
\( \sqrt{5} \) est irrationnel
• Théorème : Racine carrée d'un nombre premier est irrationnelle
• Exemple : \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}, ... \) sont irrationnels
• Caractéristique : Irrationnel ⇒ pas de quotient d'entiers
Carré parfait : Un entier n est un carré parfait s'il existe un entier k tel que n = k².
\( 9 = 3^2 \)
Donc 9 est un carré parfait.
\( \sqrt{9} = 3 \)
\( 3 = \frac{3}{1} \)
Donc 3 s'exprime comme quotient de deux entiers.
\( \sqrt{9} = 3 \) est rationnel
• Définition : Racine carrée d'un carré parfait = entier
• Caractéristique : Les entiers sont rationnels
• Exemple : \( \sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}, ... \) sont rationnels
Non-carré parfait : Un entier n est non-carré parfait si aucune racine carrée entière n'existe pour n.
\( 10 = 2 \times 5 \)
10 n'est pas un carré parfait (aucun entier k tel que k² = 10)
\( 10 = 2 \times 5 \) (aucun facteur carré parfait sauf 1)
\( \sqrt{10} \) ne peut pas se simplifier en un nombre rationnel.
\( \sqrt{10} \) est irrationnel.
\( \sqrt{10} \) est irrationnel
• Propriété : Si n n'est pas un carré parfait, alors \( \sqrt{n} \) est irrationnel
• Caractéristique : Irrationnel ⇒ pas de simplification rationnelle
• Exemple : \( \sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{15}, ... \) sont irrationnels
Carré parfait : Un entier n est un carré parfait s'il existe un entier k tel que n = k².
\( 16 = 4^2 \)
Donc 16 est un carré parfait.
\( \sqrt{16} = 4 \)
\( 4 = \frac{4}{1} \)
Donc 4 s'exprime comme quotient de deux entiers.
\( \sqrt{16} = 4 \) est rationnel
• Définition : Racine carrée d'un carré parfait = entier
• Caractéristique : Les entiers sont rationnels
• Exemple : \( \sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}, ... \) sont rationnels
Nombre premier : Un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
\( 7 \) est un nombre premier
\( 7 \) n'est pas un carré parfait
Théorème : Si p est un nombre premier, alors \( \sqrt{p} \) est irrationnel.
Comme 7 est premier, \( \sqrt{7} \) est irrationnel.
\( \sqrt{7} \) est irrationnel
• Théorème : Racine carrée d'un nombre premier est irrationnelle
• Exemple : \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}, ... \) sont irrationnels
• Caractéristique : Irrationnel ⇒ pas de quotient d'entiers
Simplification de racines : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) pour a, b ≥ 0.
\( 12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
Or \( \sqrt{3} \) est irrationnel
Donc \( 2\sqrt{3} \) est irrationnel (produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) est irrationnel
• Simplification : Extraire les carrés parfaits
• Propriété : Produit rationnel × irrationnel = irrationnel
• Caractéristique : Racine non simplifiable en rationnel
