Multiple : Un nombre a est multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k.
- Multiplier le nombre par 1, 2, 3, etc.
- Obtenir successivement les multiples
\( 6 \times 1 = 6 \)
\( 6 \times 2 = 12 \)
\( 6 \times 3 = 18 \)
\( 6 \times 4 = 24 \)
\( 6 \times 5 = 30 \)
Les 5 premiers multiples de 6 sont : 6, 12, 18, 24, 30
• Définition : Multiple = produit d'un nombre par un entier
• Séquence : Multiples de a : a×1, a×2, a×3, a×4, ...
• Caractéristique : Suite arithmétique de raison a
PPCM : Plus Petit Commun Multiple de deux nombres est le plus petit nombre qui est multiple de chacun des deux nombres.
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( \text{PPCM}(8,12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)
\( 24 \div 8 = 3 \) ✓
\( 24 \div 12 = 2 \) ✓
Donc 24 est multiple de 8 et 12
\( \text{PPCM}(8,12) = 24 \)
• Méthode : Décomposer en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant
• Vérification : Le PPCM doit être divisible par chaque nombre
PPCM : Plus Petit Commun Multiple est le plus petit nombre positif qui est multiple de chacun des nombres.
\( 15 = 3 \times 5 \)
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
Facteurs: 2, 3, 5
Plus grands exposants: 2^2, 3^1, 5^1
\( \text{PPCM}(15,20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
\( 60 \div 15 = 4 \) ✓
\( 60 \div 20 = 3 \) ✓
\( \text{PPCM}(15,20) = 60 \)
• Méthode : Décomposer en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Caractéristique : Le PPCM est toujours ≥ aux nombres concernés
Multiples communs : Nombres qui sont multiples de chacun des deux nombres.
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
Communs : 12, 24, 36, 48, ...
Les 4 premiers multiples communs de 4 et 6 sont : 12, 24, 36, 48
• Définition : Multiple commun = multiple de chaque nombre
• Relation : Le PPCM est le plus petit multiple commun
• Structure : Les multiples communs forment une suite arithmétique de raison PPCM
PPCM : Plus Petit Commun Multiple est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
\( 9 = 3^2 \)
\( 15 = 3 \times 5 \)
Facteurs: 3, 5
Plus grands exposants: 3^2, 5^1
\( \text{PPCM}(9,15) = 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45 \)
\( 45 \div 9 = 5 \) ✓
\( 45 \div 15 = 3 \) ✓
\( \text{PPCM}(9,15) = 45 \)
• Méthode : Décomposer en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Caractéristique : Le PPCM est toujours multiple de chaque nombre
PPCM : Plus Petit Commun Multiple est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
\( 10 = 2 \times 5 \)
\( 14 = 2 \times 7 \)
Facteurs: 2, 5, 7
Plus grands exposants: 2^1, 5^1, 7^1
\( \text{PPCM}(10,14) = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 5 \times 7 = 70 \)
\( 70 \div 10 = 7 \) ✓
\( 70 \div 14 = 5 \) ✓
\( \text{PPCM}(10,14) = 70 \)
• Méthode : Décomposer en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Caractéristique : Le PPCM est toujours ≥ aux nombres concernés
Multiple : Un nombre a est multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b × k.
\( 7 \times 1 = 7 \)
\( 7 \times 2 = 14 \)
\( 7 \times 3 = 21 \)
Les 3 premiers multiples de 7 sont : 7, 14, 21
• Définition : Multiple = produit d'un nombre par un entier
• Séquence : Multiples de a : a×1, a×2, a×3, ...
• Caractéristique : Suite arithmétique de raison a
PPCM : Plus Petit Commun Multiple est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
\( 18 = 2 \times 3^2 \)
\( 24 = 2^3 \times 3 \)
Facteurs: 2, 3
Plus grands exposants: 2^3, 3^2
\( \text{PPCM}(18,24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)
\( 72 \div 18 = 4 \) ✓
\( 72 \div 24 = 3 \) ✓
\( \text{PPCM}(18,24) = 72 \)
• Méthode : Décomposer en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Caractéristique : Le PPCM est toujours multiple de chaque nombre
PPCM de plusieurs nombres : Plus petit entier positif divisible par tous les nombres.
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 18 = 2 \times 3^2 \)
\( 24 = 2^3 \times 3 \)
Facteurs: 2, 3
Plus grands exposants: 2^3, 3^2
\( \text{PPCM}(12,18,24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)
\( 72 \div 12 = 6 \) ✓
\( 72 \div 18 = 4 \) ✓
\( 72 \div 24 = 3 \) ✓
\( \text{PPCM}(12,18,24) = 72 \)
• Méthode : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Extension : S'applique à plus de deux nombres
PPCM de plusieurs nombres : Plus petit entier positif divisible par tous les nombres.
\( 5 = 5 \) (nombre premier)
\( 7 = 7 \) (nombre premier)
\( 10 = 2 \times 5 \)
Facteurs: 2, 5, 7
Plus grands exposants: 2^1, 5^1, 7^1
\( \text{PPCM}(5,7,10) = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 5 \times 7 = 70 \)
\( 70 \div 5 = 14 \) ✓
\( 70 \div 7 = 10 \) ✓
\( 70 \div 10 = 7 \) ✓
\( \text{PPCM}(5,7,10) = 70 \)
• Méthode : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
• Principe : Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
• Caractéristique : Le PPCM de nombres premiers entre eux est leur produit
