Décimal fini : Un nombre décimal qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.
- Compter le nombre de décimales
- Écrire le nombre sans virgule au numérateur
- Écrire 1 suivi de zéros au dénominateur (autant que de décimales)
- Simplifier la fraction obtenue
\( 0.75 \) a 2 chiffres après la virgule
\( 0.75 = \frac{75}{100} \)
\( \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} \)
\( 0.75 = \frac{3}{4} \)
• Conversion : Décimal fini → fraction avec dénominateur = puissance de 10
• Simplification : Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD
• Vérification : \( 3 \div 4 = 0.75 \) ✓
Fraction en décimal : Effectuer la division du numérateur par le dénominateur.
\( 8 = 2^3 \)
Le dénominateur ne contient que le facteur 2, donc le décimal est fini.
\( 5 \div 8 = 0.625 \)
Ou méthode alternative :
\( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0.625 \)
\( 0.625 \times 8 = 5.000 \) ✓
\( \frac{5}{8} = 0.625 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^3 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Division euclidienne ou multiplication pour obtenir puissance de 10
• Vérification : Multiplier le résultat par le dénominateur original
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres.
\( 0.125 \) a 3 chiffres après la virgule
\( 0.125 = \frac{125}{1000} \)
\( \frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8} \)
\( 1 \div 8 = 0.125 \) ✓
\( 0.125 = \frac{1}{8} \)
• Conversion : Décimal fini → fraction avec dénominateur = 10^n
• Simplification : Trouver le PGCD de numérateur et dénominateur
• Vérification : Effectuer la division inverse
Décimal périodique : Lorsque la division ne tombe pas juste, on obtient un motif qui se répète indéfiniment.
\( 3 \) n'est pas de la forme \( 2^α \times 5^β \)
Donc le décimal sera périodique.
\( 2 \div 3 = 0.666... \)
La division donne toujours le même reste (2), donc le chiffre 6 se répète indéfiniment.
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \) ou \( 0.666... \)
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \)
• Critère : Dénominateur = 3 ⇒ décimal périodique
• Notation : \( 0.\overline{6} \) signifie que 6 est le motif récurrent
• Caractéristique : Reste qui se répète ⇒ motif qui se répète
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres.
\( 0.6 \) a 1 chiffre après la virgule
\( 0.6 = \frac{6}{10} \)
\( \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5} \)
\( 3 \div 5 = 0.6 \) ✓
\( 0.6 = \frac{3}{5} \)
• Conversion : Décimal fini → fraction avec dénominateur = 10^n
• Simplification : Diviser par le PGCD
• Vérification : Division inverse
Décimal fini : La division du numérateur par le dénominateur aboutit à un reste nul.
\( 16 = 2^4 \)
Le dénominateur ne contient que le facteur 2, donc le décimal est fini.
\( 7 \div 16 = 0.4375 \)
Méthode alternative :
\( \frac{7}{16} = \frac{7 \times 625}{16 \times 625} = \frac{4375}{10000} = 0.4375 \)
\( 0.4375 \times 16 = 7.0000 \) ✓
\( \frac{7}{16} = 0.4375 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^4 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Division ou multiplication pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Division exacte ⇒ reste nul
Décimal périodique : Méthode algébrique pour convertir en fraction.
Soit \( x = 0.333... \)
\( 10x = 3.333... \)
\( 10x - x = 3.333... - 0.333... \)
\( 9x = 3 \)
\( x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
\( 0.333... = \frac{1}{3} \)
• Méthode : Multiplier par 10^n où n = longueur de la période
• Technique : Soustraction pour éliminer la partie périodique
• Résultat : Fraction équivalente au décimal périodique
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres.
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
Le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5, donc le décimal est fini.
\( 3 \div 20 = 0.15 \)
Méthode alternative :
\( \frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} = 0.15 \)
\( 0.15 \times 20 = 3.00 \) ✓
\( \frac{3}{20} = 0.15 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^2 \times 5 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Multiplier pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Division exacte ⇒ reste nul
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres.
\( 1.25 \) a 2 chiffres après la virgule
\( 1.25 = \frac{125}{100} \)
\( \frac{125}{100} = \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4} \)
\( 5 \div 4 = 1.25 \) ✓
\( 1.25 = \frac{5}{4} \)
• Conversion : Décimal fini → fraction avec dénominateur = 10^n
• Simplification : Diviser par le PGCD
• Vérification : Division inverse
Décimal périodique composé : Lorsque le dénominateur contient des facteurs autres que 2 et 5.
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
Le dénominateur contient le facteur 3, donc le décimal est périodique.
\( 11 \div 12 = 0.91666... \)
On obtient 0.91 puis le chiffre 6 se répète indéfiniment.
\( \frac{11}{12} = 0.91\overline{6} \)
\( \frac{11}{12} = 0.91\overline{6} \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^2 \times 3 \) ⇒ décimal périodique
• Structure : Partie non-périodique (0.91) + partie périodique (\( \overline{6} \))
• Caractéristique : Présence de facteurs 2 ou 5 + autres facteurs
