Nature du décimal : Une fraction \( \frac{a}{b} \) (irréductible) admet une écriture décimale finie si et seulement si le dénominateur b ne contient que des facteurs 2 et 5.
- Simplifier la fraction si possible
- Analyser la décomposition du dénominateur
- Effectuer la division du numérateur par le dénominateur
\( 4 = 2^2 \)
Le dénominateur ne contient que le facteur 2, donc le décimal est fini.
\( 3 \div 4 = 0.75 \)
On peut aussi multiplier numérateur et dénominateur pour obtenir une puissance de 10 au dénominateur :
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \)
\( 0.75 \times 4 = 3.00 \) ✓
\( \frac{3}{4} = 0.75 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^2 \Rightarrow \) décimal fini
• Méthode : Multiplication pour obtenir une puissance de 10
• Vérification : Multiplier le résultat par le dénominateur original
Décimal périodique simple : Lorsque la division ne tombe pas juste, on obtient un motif qui se répète indéfiniment.
\( 3 \) n'est pas de la forme \( 2^α \times 5^β \)
Donc le décimal sera périodique.
\( 2 \div 3 = 0.666... \)
La division donne toujours le même reste (2), donc le chiffre 6 se répète indéfiniment.
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \) ou \( 0.666... \)
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \)
• Critère : Dénominateur = 3 ⇒ décimal périodique
• Notation : \( 0.\overline{6} \) signifie que 6 est le motif récurrent
• Caractéristique : Reste qui se répète ⇒ motif qui se répète
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres après la virgule.
\( 8 = 2^3 \)
Le dénominateur ne contient que le facteur 2, donc le décimal est fini.
\( 7 \div 8 = 0.875 \)
Ou méthode alternative :
\( \frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875 \)
\( 0.875 \times 8 = 7.000 \) ✓
\( \frac{7}{8} = 0.875 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^3 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Multiplier pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Décimal avec un nombre fini de décimales
Décimal périodique composé : Lorsque le dénominateur contient des facteurs autres que 2 et 5, on obtient un décimal périodique.
\( 6 = 2 \times 3 \)
Le dénominateur contient le facteur 3, donc le décimal est périodique.
\( 1 \div 6 = 0.1666... \)
On obtient d'abord 0.1 puis le chiffre 6 se répète indéfiniment.
\( \frac{1}{6} = 0.1\overline{6} \) ou \( 0.1666... \)
\( \frac{1}{6} = 0.1\overline{6} \)
• Critère : Dénominateur = \( 2 \times 3 \) ⇒ décimal périodique
• Notation : \( 0.1\overline{6} \) signifie 0.1 suivi de 6 récurrent
• Caractéristique : Partie non-périodique + partie périodique
Décimal fini : La division du numérateur par le dénominateur aboutit à un reste nul.
\( 16 = 2^4 \)
Le dénominateur ne contient que le facteur 2, donc le décimal est fini.
\( 5 \div 16 = 0.3125 \)
Méthode alternative :
\( \frac{5}{16} = \frac{5 \times 625}{16 \times 625} = \frac{3125}{10000} = 0.3125 \)
\( 0.3125 \times 16 = 5.0000 \) ✓
\( \frac{5}{16} = 0.3125 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^4 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Multiplier pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Division exacte ⇒ reste nul
Décimal périodique simple : Lorsque le dénominateur est premier et différent de 2 et 5, la période peut être longue.
\( 7 \) est premier et différent de 2 et 5
Donc le décimal sera périodique.
\( 2 \div 7 = 0.285714285714... \)
Le motif 285714 se répète indéfiniment.
\( \frac{2}{7} = 0.\overline{285714} \)
\( \frac{2}{7} = 0.\overline{285714} \)
• Critère : Dénominateur premier ≠ 2,5 ⇒ décimal périodique
• Période : Longueur maximale possible (ici 6 chiffres)
• Caractéristique : Tous les restes possibles apparaissent avant répétition
Décimal périodique composé : Lorsque le dénominateur contient des facteurs autres que 2 et 5, on obtient un décimal périodique composé.
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
Le dénominateur contient le facteur 3, donc le décimal est périodique.
\( 11 \div 12 = 0.91666... \)
On obtient 0.91 puis le chiffre 6 se répète indéfiniment.
\( \frac{11}{12} = 0.91\overline{6} \)
\( \frac{11}{12} = 0.91\overline{6} \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^2 \times 3 \) ⇒ décimal périodique
• Structure : Partie non-périodique (0.91) + partie périodique (\( \overline{6} \))
• Caractéristique : Présence de facteurs 2 ou 5 + autres facteurs
Décimal fini : Un nombre rationnel dont l'écriture décimale s'arrête après un nombre fini de chiffres après la virgule.
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
Le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5, donc le décimal est fini.
\( 3 \div 20 = 0.15 \)
Méthode alternative :
\( \frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} = 0.15 \)
\( 0.15 \times 20 = 3.00 \) ✓
\( \frac{3}{20} = 0.15 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^2 \times 5 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Multiplier pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Division exacte ⇒ reste nul
Décimal périodique simple : Lorsque le dénominateur ne contient ni 2 ni 5, le décimal est purement périodique.
\( 9 = 3^2 \)
Le dénominateur ne contient ni 2 ni 5, donc le décimal est purement périodique.
\( 1 \div 9 = 0.111... \)
Le chiffre 1 se répète indéfiniment.
\( \frac{1}{9} = 0.\overline{1} \)
\( \frac{1}{9} = 0.\overline{1} \)
• Critère : Dénominateur sans facteurs 2,5 ⇒ décimal purement périodique
• Structure : Seulement la partie périodique
• Caractéristique : Motif qui commence immédiatement après la virgule
Décimal fini : La division du numérateur par le dénominateur aboutit à un reste nul.
\( 40 = 2^3 \times 5 \)
Le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5, donc le décimal est fini.
\( 13 \div 40 = 0.325 \)
Méthode alternative :
\( \frac{13}{40} = \frac{13 \times 25}{40 \times 25} = \frac{325}{1000} = 0.325 \)
\( 0.325 \times 40 = 13.000 \) ✓
\( \frac{13}{40} = 0.325 \)
• Critère : Dénominateur = \( 2^3 \times 5 \) ⇒ décimal fini
• Méthode : Multiplier pour obtenir une puissance de 10
• Caractéristique : Division exacte ⇒ reste nul
