Un nombre a une écriture décimale finie s'il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

Après un certain rang, tous les chiffres sont nuls.

Un nombre a une écriture décimale infinie périodique si, à partir d'un certain rang, ses décimales se répètent indéfiniment selon un motif fixe.

• 1 Nombre fini de chiffres après la virgule
• 2 Tous les chiffres suivants sont nuls
• 3 Correspondent exactement aux nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de 10

Une période est une séquence de chiffres qui se répète indéfiniment dans la partie décimale.

On note la période en la soulignant ou en mettant un trait au-dessus.

1. 1 Effectuer la division du numérateur par le dénominateur
2. 2 Continuer la division en ajoutant des zéros au dividende
3. 3 Observer le comportement des restes
4. 4 Si un reste se répète, la période commence
5. 5 Si le reste devient nul, l'écriture est finie

Effectuons la division de 5 par 7 :

• 5 ÷ 7 = 0 reste 5 → 50 ÷ 7 = 7 reste 1 → 0,7
• 10 ÷ 7 = 1 reste 3 → 0,71
• 30 ÷ 7 = 4 reste 2 → 0,714
• 20 ÷ 7 = 2 reste 6 → 0,7142
• 60 ÷ 7 = 8 reste 4 → 0,71428
• 40 ÷ 7 = 5 reste 5 → 0,714285
• On retrouve le reste 5, donc la période commence

1. 1 Poser l'équation x = nombre décimal périodique
2. 2 Multiplier par une puissance de 10 pour décaler la virgule avant la période
3. 3 Multiplier par une autre puissance de 10 pour aligner les périodes
4. 4 Soustraire les équations pour éliminer la partie périodique
5. 5 Résoudre pour obtenir la fraction

Soit \( x = 0,\overline{42} = 0,424242... \)

Alors \( 100x = 42,424242... \)

Et \( x = 0,424242... \)

Par soustraction : \( 100x - x = 42,424242... - 0,424242... \)

Donc \( 99x = 42 \)

Un nombre réel est rationnel si et seulement si son écriture décimale est :

• 1 Soit finie
• 2 Soit infinie périodique à partir d'un certain rang

• \( \frac{1}{2} = 0,5 \) (finie)
• \( \frac{3}{4} = 0,75 \) (finie)
• \( \frac{7}{8} = 0,875 \) (finie)

• \( \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \) (périodique)
• \( \frac{2}{7} = 0,\overline{285714} \) (périodique)
• \( \frac{1}{6} = 0,1\overline{6} \) (périodique)

Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son écriture décimale est :

• 1 Infinie
• 2 Non périodique

• \( \sqrt{2} = 1,414213562373095... \) (non périodique)
• \( \pi = 3,141592653589793... \) (non périodique)
• \( e = 2,718281828459045... \) (non périodique)

Un nombre rationnel \( \frac{p}{q} \) (irréductible) a une écriture décimale finie si et seulement si le dénominateur q ne contient que des facteurs premiers 2 et 5.

Un nombre rationnel \( \frac{p}{q} \) (irréductible) a une écriture décimale périodique si le dénominateur q contient des facteurs premiers autres que 2 et 5.

La longueur de la période d'un rationnel \( \frac{p}{q} \) (en simplifiant les facteurs 2 et 5 du dénominateur) divise \( \phi(q') \) où \( \phi \) est la fonction indicatrice d'Euler et \( q' \) est le dénominateur sans les facteurs 2 et 5.

Par exemple, pour \( \frac{1}{7} \), la période est de longueur 6 car \( 10^6 \equiv 1 \mod 7 \).

\( 12 = 2^2 \times 3 \)

Le dénominateur contient un facteur premier 3 différent de 2 et 5.

Effectuons la division :

• 13 ÷ 12 = 1 reste 1 → 1,
• 10 ÷ 12 = 0 reste 10 → 1,0
• 100 ÷ 12 = 8 reste 4 → 1,08
• 40 ÷ 12 = 3 reste 4 → 1,083
• 40 ÷ 12 = 3 reste 4 → 1,0833...

Soit \( x = 1,08\overline{3} \)

Posons \( y = 0,00\overline{3} \), alors \( x = 1,08 + y \)

Pour \( y = 0,00\overline{3} \) : \( 100y = 0,\overline{3} = \frac{1}{3} \), donc \( y = \frac{1}{300} \)

Donc \( x = 1,08 + \frac{1}{300} = \frac{108}{100} + \frac{1}{300} = \frac{324}{300} + \frac{1}{300} = \frac{325}{300} = \frac{13}{12} \)

✓ Vérifié !

1. 1 Mettre le nombre sous forme de fraction irréductible \( \frac{p}{q} \)
2. 2 Décomposer le dénominateur q en facteurs premiers
3. 3 Vérifier si q ne contient que les facteurs 2 et 5
4. 4 Si oui : écriture décimale finie, sinon : écriture décimale périodique
5. 5 Effectuer la division pour obtenir l'écriture décimale

• De fraction à décimale : Effectuer la division euclidienne
• De décimale périodique à fraction : Utiliser la méthode algébrique
• Vérification : Toujours convertir la fraction obtenue pour valider

Lors de mesures physiques, on obtient souvent des valeurs approchées avec un nombre fini de décimales :

• La taille d'une personne : 1,75 m (écriture finie)
• Le taux de TVA : 20% = 0,20 (écriture finie)
• Le taux d'intérêt annuel : 1,25% = 0,0125 (écriture finie)

Un article coûte 100€ et bénéficie d'une remise de 1/3 (soit environ 33,33%) :

Montant de la remise : \( 100 \times 0,\overline{3} = 33,\overline{3} \)€

Prix après remise : \( 100 - 33,\overline{3} = 66,\overline{6} \)€

• 1 Croire que tous les nombres avec beaucoup de décimales sont irrationnels
• 2 Ne pas reconnaître une période dans une écriture décimale
• 3 Confondre les critères pour avoir une écriture finie vs périodique
• 4 Oublier que les nombres rationnels peuvent avoir deux écritures décimales

Le nombre 1 peut s'écrire :

• \( 1 = 1,000... \) (écriture décimale finie)
• \( 1 = 0,999... = 0,\overline{9} \) (écriture décimale périodique)

Ces deux écritures représentent le même nombre rationnel.

• Nombre fini de chiffres après la virgule
• Tous les chiffres suivants sont nuls
• Correspond aux rationnels avec dénominateur de la forme \( 2^m \times 5^n \)

• Infinie mais avec motif qui se répète
• Correspond aux rationnels avec dénominateur contenant d'autres facteurs premiers
• On note la période avec une barre au-dessus

• Écriture décimale infinie non périodique
• Ne peuvent pas s'écrire comme quotient de deux entiers
• Exemples : π, e, √2