Les bornes a et b sont incluses dans l'intervalle.

Les bornes a et b sont exclues de l'intervalle.

Une borne est incluse, l'autre est exclue.

• 1 Trace une droite horizontale (la droite réelle)
• 2 Place les bornes de l'intervalle
• 3 Trace un segment pour montrer l'étendue de l'intervalle
• 4 Utilise des points pleins (•) pour les bornes incluses
• 5 Utilise des points vides (○) pour les bornes exclues

Intervalle fermé [2, 5]

Intervalle ouvert ]-1, 3[

L'union de deux intervalles I et J, notée \( I \cup J \), est l'ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux).

Soient \( I = [1, 3] \) et \( J = [5, 7] \)

Union de deux intervalles disjoints

Soient \( I = [1, 4] \) et \( J = [3, 6] \)

Union de [1, 4] et [3, 6] donne [1, 6]

• 1 Si les intervalles se chevauchent ou sont adjacents, leur union est un seul intervalle
• 2 Si les intervalles sont disjoints, leur union est une réunion de deux intervalles distincts
• 3 L'union contient tous les éléments de l'un ou de l'autre intervalle

L'intersection de deux intervalles I et J, notée \( I \cap J \), est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.

Soient \( I = [1, 5] \) et \( J = [3, 7] \)

Intersection de [1, 5] et [3, 7] donne [3, 5]

Soient \( I = [1, 3] \) et \( J = [5, 7] \)

Intersection de [1, 3] et [5, 7] est vide

• 1 L'intersection est l'ensemble des éléments communs aux deux intervalles
• 2 Si les intervalles sont disjoints, l'intersection est vide (∅)
• 3 Si les intervalles se chevauchent, l'intersection est un intervalle
• 4 L'intersection est toujours contenue dans chacun des intervalles initiaux

Pour tous intervalles I et J :

L'ordre des intervalles n'affecte pas le résultat.

Pour tous intervalles I, J et K :

Pour tous intervalles I, J et K :

I = [-2, 4] (bleu) et J = ]1, 7[ (orange)

L'union de [-2, 4] et ]1, 7[ est [-2, 7[.

I ∪ J = [-2, 7[

L'intersection de [-2, 4] et ]1, 7[ est ]1, 4].

I ∩ J = ]1, 4]

• 1 \( I \cup J \) contient tous les nombres de I ou de J
• 2 \( I \cap J \) contient seulement les nombres communs à I et J
• 3 \( I \cap J \subseteq I \) et \( I \cap J \subseteq J \)
• 4 \( I \subseteq I \cup J \) et \( J \subseteq I \cup J \)

1. 1 Identifier les bornes de chaque intervalle
2. 2 Représenter les intervalles sur une droite graduée
3. 3 Déterminer l'intervalle minimum qui contient tous les éléments
4. 4 Déterminer si les bornes sont incluses ou exclues

1. 1 Identifier les bornes de chaque intervalle
2. 2 Représenter les intervalles sur une droite graduée
3. 3 Trouver la zone où les intervalles se superposent
4. 4 Déterminer les bornes de l'intersection et leur inclusion/exclusion

Supposons que pour une plante :

• La température minimale pour survivre est de 5°C (intervalle [5, +∞[)
• La température maximale pour survivre est de 30°C (intervalle ]-∞, 30])

L'intersection de ces intervalles donne les températures acceptables :

La plante survive entre 5°C et 30°C.

Un magasin A est ouvert de 9h à 18h ([9, 18]), un magasin B de 10h à 20h ([10, 20]).

Lorsque sont-ils ouverts en même temps ?

Ils sont ouverts ensemble de 10h à 18h.

• 1 Croire que l'union de deux intervalles est toujours un intervalle (faux si disjoints)
• 2 Ne pas tenir compte de l'ouverture/fermeture des bornes
• 3 Confondre union et intersection

• 1 Penser que l'intersection est toujours non vide (faux si disjoints)
• 2 Prendre la plus petite portion au lieu de la zone commune
• 3 Oublier de vérifier l'inclusion des bornes

• Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes
• Bornes peuvent être incluses [a,b] ou exclues ]a,b[
• Représentation graphique sur la droite réelle

• Contient les éléments qui appartiennent à l'un ou l'autre intervalle
• Notation : \( A \cup B \)
• Peut être un seul intervalle ou une réunion de plusieurs

• Contient les éléments qui appartiennent aux deux intervalles
• Notation : \( A \cap B \)
• Peut être vide ou un intervalle