Notations des Intervalles [a;b], ]a;b[, etc.
Introduction
Découvrez les notations mathématiques des intervalles de ℝ
Introduction aux notations d'intervalles
Ensemble des intervalles
Un intervalle de ℝ est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.
Les notations servent à indiquer si les bornes sont incluses ou exclues de l'intervalle.
Les principales notations sont :
- [a ; b] : intervalle fermé
- ]a ; b[ : intervalle ouvert
- [a ; b[ : semi-ouvert à droite
- ]a ; b] : semi-ouvert à gauche
Notation [a;b] - Intervalle fermé
Notation [a ; b]
La notation [a ; b] désigne l'ensemble des réels x tels que :
Les bornes a et b sont incluses dans l'intervalle.
On dit que l'intervalle est fermé.
Les points extrêmes sont représentés par des disques pleins (bornes incluses).
Notation ]a;b[ - Intervalle ouvert
Notation ]a ; b[
La notation ]a ; b[ désigne l'ensemble des réels x tels que :
Les bornes a et b sont exclues de l'intervalle.
On dit que l'intervalle est ouvert.
Les points extrêmes sont représentés par des disques vides (bornes exclues).
Notation [a;b[ - Semi-ouvert à droite
Notation [a ; b[
La notation [a ; b[ désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne a est incluse, la borne b est exclue.
On dit que l'intervalle est semi-ouvert à droite.
À gauche : disque plein (borne incluse), à droite : disque vide (borne exclue).
Notation ]a;b] - Semi-ouvert à gauche
Notation ]a ; b]
La notation ]a ; b] désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne a est exclue, la borne b est incluse.
On dit que l'intervalle est semi-ouvert à gauche.
À gauche : disque vide (borne exclue), à droite : disque plein (borne incluse).
Tableau récapitulatif des notations
Résumé des notations
| Notation | Inégalité | Bornes incluses | Type |
|---|---|---|---|
| [a ; b] | a ≤ x ≤ b | a et b | Fermé |
| ]a ; b[ | a < x < b | aucune | Ouvert |
| [a ; b[ | a ≤ x < b | a seulement | Semi-ouvert à droite |
| ]a ; b] | a < x ≤ b | b seulement | Semi-ouvert à gauche |
Imagine que les crochets sont des portes :
- Le crochet [ est une porte ouverte vers l'intérieur → la borne est incluse
- Le crochet ] est une porte ouverte vers l'extérieur → la borne est exclue
Intervalles illimités
Bornes infinies
La notation [a ; +∞[ désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne a est incluse, la borne +∞ est toujours exclue.
La notation ]a ; +∞[ désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne a est exclue, la borne +∞ est toujours exclue.
La notation ]-∞ ; b] désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne -∞ est toujours exclue, la borne b est incluse.
La notation ]-∞ ; b[ désigne l'ensemble des réels x tels que :
La borne -∞ est toujours exclue, la borne b est exclue.
Applications concrètes
Utilisation dans la vie courante
- 1 Température admissible : [18°C ; 22°C] (intervalle fermé)
- 2 Vitesse maximale : ]0 ; 130] km/h (semi-ouvert)
- 3 Note acceptable : [10 ; 20] (intervalle fermé)
- 4 Taille admissible : ]0 ; +∞[ (intervalle illimité)
Une chambre d'hôtel maintient une température entre 19°C et 24°C. On peut représenter cela par l'intervalle fermé [19 ; 24], exprimé en degrés Celsius.
Si la température est strictement comprise entre ces valeurs, on aurait ]19 ; 24[.
Erreurs fréquentes à éviter
Pièges à éviter
- 1 Confondre [a ; b] et ]a ; b[
- 2 Oublier que +∞ et -∞ sont toujours exclus
- 3 Ne pas distinguer les intervalles semi-ouverts
- 4 Confondre ≤ et < dans les inégalités
- 1 Toujours vérifier la nature des crochets
- 2 Dessiner la droite graduée pour visualiser
- 3 Lire attentivement les inégalités
- 4 Pratiquer avec des exemples variés
Traduction entre notations
Passer d'une notation à une autre
On peut passer de la notation en intervalle à l'écriture en inégalité et vice-versa :
- [a ; b] ⟺ a ≤ x ≤ b
- ]a ; b[ ⟺ a < x < b
- [a ; b[ ⟺ a ≤ x < b
- ]a ; b] ⟺ a < x ≤ b
Traduire en notation d'intervalle :
- "x est compris entre 2 et 5 inclus" ⟺ [2 ; 5]
- "x est strictement entre -1 et 3" ⟺ ]-1 ; 3[
- "x est entre 0 et 4, 0 exclu" ⟺ ]0 ; 4]
- "x est entre -3 et 1, 1 exclu" ⟺ [-3 ; 1[
Résumé
Points clés
- [a ; b] : intervalle fermé (bornes incluses)
- ]a ; b[ : intervalle ouvert (bornes exclues)
- [a ; b[ : semi-ouvert à droite (a inclus, b exclu)
- ]a ; b] : semi-ouvert à gauche (a exclu, b inclus)
- Le crochet [ signifie "inclus", le crochet ] signifie "exclu"
- +∞ et -∞ sont toujours exclus des intervalles
- On peut traduire entre notation d'intervalle et inégalité
- Disque plein pour borne incluse
- Disque vide pour borne exclue
Exercices d'application
Mettez vos connaissances en pratique
Donner la notation en intervalle de l'ensemble des réels x tels que -3 ≤ x < 5.
Quel type d'intervalle s'agit-il ?
Traduire en inégalité l'intervalle ]-2 ; 4].
Donner un exemple de nombre appartenant à cet intervalle et un exemple de nombre n'appartenant pas à cet intervalle.
Représenter graphiquement l'intervalle [-1 ; 3[ sur la droite graduée.
Quelle est la nature des bornes de cet intervalle ?
Solutions des exercices
Corrections détaillées
Notation : [-3 ; 5[
Type d'intervalle : semi-ouvert (fermé à gauche, ouvert à droite)
La borne -3 est incluse (≤), la borne 5 est exclue (<).
Inégalité correspondante : -2 < x ≤ 4
Exemple appartenant à l'intervalle : 0 (car -2 < 0 ≤ 4)
Exemple n'appartenant pas à l'intervalle : -3 (car -3 ≤ -2) ou 5 (car 5 > 4)
Représentation graphique : intervalle fermé à gauche, ouvert à droite
Nature des bornes : -1 est incluse, 3 est exclue.
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences
Quiz Interactif
Testez vos connaissances
Question 1
Quelle notation correspond à -2 ≤ x < 5 ?
Question 2
Quelle inégalité correspond à l'intervalle ]3; 7] ?