Notations de Base
[a ; b]
Intervalle fermé: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \)
a
b
]a ; b[
Intervalle ouvert: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} \)
a
b
[a ; b[
Semi-ouvert à droite: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\} \)
a
b
]a ; b]
Semi-ouvert à gauche: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\} \)
a
b
Notations Avancées
\( [a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\} \)
\( ]-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \)
\( ]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\} \)
\( ]-\infty, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\} \)
\( ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R} \)
\( ]-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \)
\( ]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\} \)
\( ]-\infty, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\} \)
\( ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R} \)
Signification des Symboles
[ ou ]: Borne incluse (≤ ou ≥)
] ou [: Borne exclue (< ou >)
±∞: Toujours exclus (notation conventionnelle)
Longueur: \(b - a\) pour intervalle borné
Centre: \(\frac{a+b}{2}\) pour intervalle symétrique
Exemples Concrets
[0, 1]: Réels entre 0 et 1, bornes comprises
]-1, 1[: Réels strictement entre -1 et 1
[2, +∞[: Réels supérieurs ou égaux à 2
]-1, 1[: Réels strictement entre -1 et 1
[2, +∞[: Réels supérieurs ou égaux à 2
Mémo Visuel
🎯 Crochet droit = borne incluse (comme un bras fermé)
🎯 Parenthèse ou crochet ouvert = borne exclue (comme un bras ouvert)
Erreurs et Applications
Erreurs Fréquentes
⚠️ ]a,a[ est un ensemble vide
⚠️ [a,a] = {a}, un singleton
⚠️ Ne pas confondre ]a,b[ et [a,b[
⚠️ L'infini est toujours exclu: ]-∞,+∞[ = ℝ
Applications Pratiques
- Définition de domaines de définition
- Ensembles solutions d'inéquations
- Encadrements et approximations
- Étude de signe
- Continuité et limites
Notations Spéciales
\( \mathbb{R}^+ = [0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^- = ]-\infty,0] \)
\( \mathbb{R}^{*+} = ]0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^{*-} = ]-\infty,0[ \)
\( \mathbb{R}^* = ]-\infty,0[ \cup ]0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^- = ]-\infty,0] \)
\( \mathbb{R}^{*+} = ]0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^{*-} = ]-\infty,0[ \)
\( \mathbb{R}^* = ]-\infty,0[ \cup ]0,+\infty[ \)
Opérations sur Intervalles
\( [1,3] \cap [2,4] = [2,3] \)
\( [1,3] \cup [2,4] = [1,4] \)
\( [0,2] \setminus ]1,2[ = [0,1] \cup \{2\} \)
\( [1,3] \cup [2,4] = [1,4] \)
\( [0,2] \setminus ]1,2[ = [0,1] \cup \{2\} \)
