Exercices corrigés : Notations [a;b], ]a;b[, etc.

Les 10 exercices

\( [a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \)

Intervalle fermé [a,b]

Exercice 1

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 5}

Exercice 2

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | 1 < x < 3}

Exercice 3

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | x ≥ -1}

Exercice 4

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | x < 4}

Exercice 5

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | -3 ≤ x < 2}

Exercice 6

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | 0 < x ≤ π}

Exercice 7

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | x ≤ -5 ou x ≥ 3}

Exercice 8

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | x ≠ 2}

Exercice 9

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 1 et x ≠ 0}

Exercice 10

Traduisez en notation d'intervalle : {x ∈ ℝ | x ∈ ]-2, 2[ et x ≠ 0}

📊

Fermé : [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

🔄

Ouvert : ]a,b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}

📏

Semi-ouvert : [a,b[ ou ]a,b]

💡

Crochet vers l'extérieur = borne exclue, vers l'intérieur = borne incluse

📊

∞ n'est jamais inclus dans un intervalle (toujours crochet ouvert)

🔍

≤ correspond à crochet fermé [, < correspond à crochet ouvert ]

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 5}

On a -2 ≤ x ≤ 5

Cela signifie que x est compris entre -2 et 5, bornes incluses

Notation d'intervalle : [-2, 5]

Réponse :

[-2, 5]

Définition :

Un intervalle fermé [a, b] contient ses deux bornes a et b.

Règle appliquée :

Lorsque les inégalités sont larges (≤ ou ≥), on utilise des crochets fermés [ ou ].

2 {x ∈ ℝ | 1 < x < 3}

On a 1 < x < 3

Cela signifie que x est strictement compris entre 1 et 3

Notation d'intervalle : ]1, 3[

Réponse :

]1, 3[

Définition :

Un intervalle ouvert ]a, b[ ne contient pas ses bornes a et b.

Règle appliquée :

Lorsque les inégalités sont strictes (< ou >), on utilise des crochets ouverts ] ou [.

3 {x ∈ ℝ | x ≥ -1}

On a x ≥ -1

Cela signifie que x est supérieur ou égal à -1, sans borne supérieure

Notation d'intervalle : [-1, +∞[

Réponse :

[-1, +∞[

Règle appliquée :

Pour une inégalité large avec une seule borne, on utilise un crochet fermé du côté de la borne et un crochet ouvert du côté infini.

💡

∞ est toujours exclus des intervalles, donc toujours crochet ouvert

4 {x ∈ ℝ | x < 4}

On a x < 4

Cela signifie que x est strictement inférieur à 4, sans borne inférieure

Notation d'intervalle : ]-∞, 4[

Réponse :

]-∞, 4[

Règle appliquée :

Pour une inégalité stricte avec une seule borne, on utilise un crochet ouvert du côté de la borne et du côté infini.

Remarque :

]-∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a} et ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}

5 {x ∈ ℝ | -3 ≤ x < 2}

On a -3 ≤ x < 2

Cela signifie que x est compris entre -3 (inclus) et 2 (exclu)

Notation d'intervalle : [-3, 2[

Réponse :

[-3, 2[

Définition :

Un intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) contient une borne et pas l'autre.

Règle appliquée :

Le crochet est fermé du côté de l'inégalité large et ouvert du côté de l'inégalité stricte.

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 {x ∈ ℝ | 0 < x ≤ π}

On a 0 < x ≤ π

Cela signifie que x est strictement supérieur à 0 et inférieur ou égal à π

Notation d'intervalle : ]0, π]

Réponse :

]0, π]

Règle appliquée :

Le crochet est ouvert du côté de l'inégalité stricte et fermé du côté de l'inégalité large.

💡

π est un nombre réel, donc on peut l'utiliser comme borne d'un intervalle

7 {x ∈ ℝ | x ≤ -5 ou x ≥ 3}

Cet ensemble n'est pas un seul intervalle, mais une union de deux intervalles

On a x ≤ -5 OU x ≥ 3

Notation d'intervalle : ]-∞, -5] ∪ [3, +∞[

Réponse :

]-∞, -5] ∪ [3, +∞[

Définition :

∪ (union) signifie "ou", l'ensemble contient les réels de l'un ou l'autre intervalle.

Règle appliquée :

Quand une condition est "ou", on utilise l'union ∪ de plusieurs intervalles.

8 {x ∈ ℝ | x ≠ 2}

On veut tous les réels sauf 2

Cela correspond à ]-∞, 2[ ∪ ]2, +∞[

Réponse :

]-∞, 2[ ∪ ]2, +∞[

Règle appliquée :

Quand on exclut un point, on coupe l'intervalle en deux parties autour de ce point.

💡

ℝ* = ℝ∖{0} = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ est un cas particulier de cette situation

9 {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 1 et x ≠ 0}

On veut x dans [-1, 1] MAIS x ≠ 0

Cela correspond à [-1, 0[ ∪ ]0, 1]

Réponse :

[-1, 0[ ∪ ]0, 1]

Définition :

Le connecteur logique "et" correspond à l'intersection ∩, mais ici on exclut un point de l'intérieur de l'intervalle.

Règle appliquée :

Quand on enlève un point à l'intérieur d'un intervalle, on obtient une union de deux intervalles semi-ouverts.

10 {x ∈ ℝ | x ∈ ]-2, 2[ et x ≠ 0}

On veut x dans ]-2, 2[ MAIS x ≠ 0

Cela correspond à ]-2, 0[ ∪ ]0, 2[

Réponse :

]-2, 0[ ∪ ]0, 2[

Règle appliquée :

On enlève un point de l'intérieur d'un intervalle ouvert, ce qui crée une union de deux intervalles ouverts.

Méthode :

Quand on a une condition du type "x ∈ I et x ≠ a", on coupe l'intervalle I en deux parties autour du point a.

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