L'intervalle [-2, 5] est l'ensemble des réels x tels que -2 ≤ x ≤ 5
Notation ensembliste : [-2, 5] = {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 5}
[-2, 5] = {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 5}
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, éventuellement infinies.
La notation [a, b] signifie que les bornes a et b sont incluses dans l'intervalle (crochets fermés).
]-1, 3] = {x ∈ ℝ | -1 < x ≤ 3}
Représentation graphique : segment de -1 à 3, avec un crochet ouvert à gauche et fermé à droite
Segment allant de -1 (non inclus) à 3 (inclus)
]-1, 3] : le crochet ouvert à gauche signifie que -1 n'est pas inclus, le crochet fermé à droite signifie que 3 est inclus.
]1, 2[ = {x ∈ ℝ | 1 < x < 2}
Pour que 2 appartienne à ]1, 2[, il faudrait que 1 < 2 < 2
Or 2 < 2 est faux, donc 2 ∉ ]1, 2[
Non, 2 n'appartient pas à ]1, 2[ car 2 n'est pas strictement inférieur à 2.
Appartenance : x ∈ I signifie que x est un élément de l'intervalle I.
Dans un intervalle ouvert, les bornes ne sont jamais incluses.
Centre = 3, Rayon = 2
Les bornes sont : 3 - 2 = 1 et 3 + 2 = 5
Comme l'intervalle est ouvert, on a ]1, 5[
]1, 5[
Pour un intervalle ouvert de centre c et de rayon r : ]c-r, c+r[
Un intervalle ouvert de centre c et rayon r est ]c-r, c+r[.
On cherche {x ∈ ℝ | x < -1}
Cet ensemble est l'intervalle ]-∞, -1[
On utilise -∞ car il n'y a pas de borne inférieure fixe
]−∞, −1[
]-∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a} et ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}
∞ n'est jamais inclus dans un intervalle, donc on met toujours un crochet ouvert.
Si x ∈ [2, 7], alors 2 ≤ x ≤ 7
Cela signifie que x est compris entre 2 et 7, bornes incluses
2 ≤ x ≤ 7
Si x ∈ [a, b], alors a ≤ x ≤ b. Les bornes sont incluses dans un intervalle fermé.
La notation [-∞, 4[ n'est pas correcte car -∞ n'est pas un nombre réel.
On écrit plutôt ]-∞, 4[ pour désigner l'ensemble {x ∈ ℝ | x < 4}.
]-∞, 4[ est un intervalle de ℝ.
[-∞, 4[ n'est pas une notation valide. L'intervalle correct est ]-∞, 4[.
Les bornes d'un intervalle doivent être des nombres réels ou ±∞. On ne peut pas inclure ±∞.
Les bornes infinies sont toujours exclues (toujours crochet ouvert).
]-2, 5[ = {x ∈ ℝ | -2 < x < 5}
[1, 8] = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 8}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -2 < x < 5 ET 1 ≤ x ≤ 8
Cela donne 1 ≤ x < 5, donc [1, 5[
]-2, 5[ ∩ [1, 8] = [1, 5[
L'intersection A ∩ B est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
Pour trouver l'intersection de deux intervalles, on prend la plus grande borne inférieure et la plus petite borne supérieure.
Si x ∈ ]0, 1[, alors 0 < x < 1
Comme la fonction carré est strictement croissante sur ]0, +∞[, on a :
0² < x² < 1², soit 0 < x² < 1
Donc x² ∈ ]0, 1[
Oui, x² appartient à ]0, 1[ si x ∈ ]0, 1[.
Si f est strictement croissante sur [a, b] et que x ∈ ]a, b[, alors f(x) ∈ ]f(a), f(b)[.
]2, 2[ = {x ∈ ℝ | 2 < x < 2}
Il n'existe aucun réel x tel que 2 < x < 2
Car on aurait 2 < 2, ce qui est impossible
Donc ]2, 2[ = ∅ (ensemble vide)
]2, 2[ est vide car il n'existe aucun réel strictement compris entre 2 et 2.
Un intervalle ]a, b[ est vide si a ≥ b, car il n'existe alors aucun réel x tel que a < x < b.
Pour que ]a, b[ soit non vide, il faut que a < b.
