Types d'Intervalles
[a, b]
Fermé: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \)
a
b
]a, b[
Ouvert: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} \)
a
b
[a, b[
Semi-ouvert à droite: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\} \)
a
b
]a, b]
Semi-ouvert à gauche: \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\} \)
a
b
Intervalles Infinis
\( [a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\} \)
\( ]-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \)
\( ]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\} \)
\( ]-\infty, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\} \)
\( ]-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \)
\( ]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\} \)
\( ]-\infty, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\} \)
Propriétés des Intervalles
Fermé: Bornes incluses (crochets droits)
Ouvert: Bornes exclues (parenthèses)
Semi-ouvert: Une borne incluse, une exclue
Amplitude: Longueur de l'intervalle = \(b - a\)
Centre: Point milieu = \(\frac{a+b}{2}\)
Exemples Concrets
[2, 5]: Tous les réels entre 2 et 5, inclus
]-1, 3[: Tous les réels strictement entre -1 et 3
[0, +∞[: Tous les réels positifs ou nuls
]-1, 3[: Tous les réels strictement entre -1 et 3
[0, +∞[: Tous les réels positifs ou nuls
Mémo Notation
🎯 Crochet fermé = borne incluse (≤)
🎯 Parenthèse ou crochet ouvert = borne exclue (<)
Applications et Erreurs
Intersection et Union
\( [1,4] \cap [2,5] = [2,4] \)
\( [1,4] \cup [2,5] = [1,5] \)
\( [1,4] \cup [2,5] = [1,5] \)
L'intersection est l'ensemble des éléments communs.
L'union est l'ensemble de tous les éléments.
Erreurs Fréquentes
⚠️ Ne pas mélanger [a,b] et ]a,b[
⚠️ L'infini est toujours exclu: ]-∞,+∞[ = ℝ
⚠️ ]a,a[ est un ensemble vide
⚠️ [a,a] = {a}, un singleton
Applications Pratiques
- Résolution d'inéquations
- Définition de domaines de définition
- Encadrements et approximations
- Étude de signe
- Optimisation
Notations Équivalentes
\( \mathbb{R}^+ = [0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^- = ]-\infty,0] \)
\( \mathbb{R}^{*+} = ]0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^{*-} = ]-\infty,0[ \)
\( \mathbb{R}^- = ]-\infty,0] \)
\( \mathbb{R}^{*+} = ]0,+\infty[ \)
\( \mathbb{R}^{*-} = ]-\infty,0[ \)
