[-2, 5] = {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 5}
[1, 8] = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 8}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -2 ≤ x ≤ 5 ET 1 ≤ x ≤ 8
Cela donne : max(-2, 1) ≤ x ≤ min(5, 8), soit 1 ≤ x ≤ 5
Donc [-2, 5] ∩ [1, 8] = [1, 5]
[-2, 5] ∩ [1, 8] = [1, 5]
Pour l'intersection de deux intervalles [a, b] et [c, d] : [max(a, c), min(b, d)] s'ils se chevauchent.
L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles.
]-3, 2[ = {x ∈ ℝ | -3 < x < 2}
[0, 4[ = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 4}
L'union est l'ensemble des x tels que x ∈ ]-3, 2[ OU x ∈ [0, 4[
Comme ]-3, 2[ et [0, 4[ se chevauchent, l'union est ]-3, 4[
]-3, 2[ ∪ [0, 4[ = ]-3, 4[
L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux).
Lorsque deux intervalles se chevauchent, leur union forme un seul intervalle.
]-1, 3[ = {x ∈ ℝ | -1 < x < 3}
[2, 6] = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 6}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -1 < x < 3 ET 2 ≤ x ≤ 6
Cela donne : max(-1, 2) ≤ x < min(3, 6), soit 2 ≤ x < 3
Donc ]-1, 3[ ∩ [2, 6] = [2, 3[
]-1, 3[ ∩ [2, 6] = [2, 3[
On prend la borne supérieure maximale et la borne inférieure minimale pour l'intersection.
]-∞, 2] = {x ∈ ℝ | x ≤ 2}
]1, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > 1}
L'union est l'ensemble des x tels que x ≤ 2 OU x > 1
Tous les réels satisfont cette condition (car ℝ = ]-∞, +∞[)
Donc ]-∞, 2] ∪ ]1, +∞[ = ℝ
]-∞, 2] ∪ ]1, +∞[ = ℝ
Quand l'union de deux intervalles recouvre tout ℝ, le résultat est ℝ.
ℝ = ]-∞, +∞[ est l'ensemble de tous les nombres réels.
[-1, 1] = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 1}
]2, 3[ = {x ∈ ℝ | 2 < x < 3}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -1 ≤ x ≤ 1 ET 2 < x < 3
Il n'existe aucun x vérifiant ces deux conditions simultanément
Donc [-1, 1] ∩ ]2, 3[ = ∅ (ensemble vide)
[-1, 1] ∩ ]2, 3[ = ∅
Deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide.
Si deux intervalles ne se chevauchent pas, leur intersection est vide.
[-4, -1] = {x ∈ ℝ | -4 ≤ x ≤ -1}
[2, 5] = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 5}
Ces deux intervalles sont disjoints (ils ne se chevauchent pas)
Donc [-4, -1] ∪ [2, 5] = [-4, -1] ∪ [2, 5]
On ne peut pas simplifier en un seul intervalle
[-4, -1] ∪ [2, 5] = [-4, -1] ∪ [2, 5]
Quand deux intervalles sont disjoints, leur union reste une union de deux intervalles distincts.
]-2, 4] = {x ∈ ℝ | -2 < x ≤ 4}
[-1, 3[ = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x < 3}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -2 < x ≤ 4 ET -1 ≤ x < 3
Cela donne : max(-2, -1) ≤ x < min(4, 3), soit -1 ≤ x < 3
Donc ]-2, 4] ∩ [-1, 3[ = [-1, 3[
]-2, 4] ∩ [-1, 3[ = [-1, 3[
On détermine la plus grande borne inférieure et la plus petite borne supérieure.
On peut aussi tracer les intervalles sur une droite graduée pour visualiser l'intersection.
ℝ = {x ∈ ℝ | -∞ < x < +∞}
]-5, 5[ = {x ∈ ℝ | -5 < x < 5}
L'intersection est l'ensemble des x tels que -∞ < x < +∞ ET -5 < x < 5
La deuxième condition est plus restrictive
Donc ℝ ∩ ]-5, 5[ = ]-5, 5[
ℝ ∩ ]-5, 5[ = ]-5, 5[
L'intersection d'un ensemble avec un de ses sous-ensembles est ce sous-ensemble.
Pour tout ensemble A : A ∩ ℝ = A si A ⊆ ℝ
[0, 2] = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2}
]1, 3] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 3}
Ces intervalles se chevauchent sur ]1, 2]
L'union est l'ensemble des x tels que 0 ≤ x ≤ 2 OU 1 < x ≤ 3
Cela donne [0, 3]
[0, 2] ∪ ]1, 3] = [0, 3]
Quand deux intervalles se chevauchent, leur union est l'intervalle allant de la plus petite à la plus grande borne.
On a [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Et [c, d] = {x ∈ ℝ | c ≤ x ≤ d}
Avec la condition a < c < b < d
L'intersection est l'ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b ET c ≤ x ≤ d
Cela donne : max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d), soit c ≤ x ≤ b
Donc [a, b] ∩ [c, d] = [c, b]
[a, b] ∩ [c, d] = [c, b] si a < c < b < d
Pour [a, b] ∩ [c, d] : si max(a,c) ≤ min(b,d), alors [max(a,c), min(b,d)], sinon ∅
On prend toujours la borne inférieure maximale et la borne supérieure minimale.
