Écritures Décimales
Décimale Finie
0.25
= 1/4
Décimale Finie
0.125
= 1/8
Périodique Simple
0.3 = 0.333...
= 1/3
Périodique Complexe
0.16 = 0.1666...
= 1/6
Périodique
0.142857 = 0.142857...
= 1/7
Irrationnel
π = 3.1415926535...
Pas de période
Conversion Fraction → Décimal
\( \frac{3}{4} = 0.75 \) (finie)
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \) (périodique)
\( \frac{5}{6} = 0.8\overline{3} \) (périodique)
\( \frac{2}{3} = 0.\overline{6} \) (périodique)
\( \frac{5}{6} = 0.8\overline{3} \) (périodique)
Caractéristiques
Décimale finie: Nombre fini de chiffres après la virgule
Périodique simple: Partie décimale récurrente immédiatement
Périodique complexe: Partie initiale + partie récurrente
Rationnel: Toute écriture décimale finie ou périodique
Irrationnel: Écriture décimale illimitée non périodique
Critères de Classification
Décimale finie ↔ Dénominateur = 2^n × 5^m
Décimale périodique ↔ Dénominateur ≠ 2^n × 5^m
Irrationnel ↔ Pas de fraction possible
Décimale périodique ↔ Dénominateur ≠ 2^n × 5^m
Irrationnel ↔ Pas de fraction possible
Mémo Conversion
🎯 Décimale finie: Multiplier/diviser par puissance de 10
🔄 Périodique: Utiliser équation avec x = 0.aaaa...
Exemples et Techniques
Conversion Décimale → Fraction
0.25 = 25/100 = 1/4
0.125 = 125/1000 = 1/8
0.6 = 6/9 = 2/3 (si période immédiate)
0.16 = 16/99 (si période immédiate)
0.125 = 125/1000 = 1/8
0.6 = 6/9 = 2/3 (si période immédiate)
0.16 = 16/99 (si période immédiate)
Conversion Périodique Complexe
Soit x = 0.1666...
10x = 1.666...
100x = 16.666...
100x - 10x = 15
90x = 15
x = 15/90 = 1/6
10x = 1.666...
100x = 16.666...
100x - 10x = 15
90x = 15
x = 15/90 = 1/6
Erreurs Fréquentes
⚠️ Confondre 0.999... avec 1 (en fait 0.999... = 1)
⚠️ Croire que π est rationnel (π est irrationnel)
⚠️ Ne pas reconnaître la période dans 0.123123...
Applications
- Reconnaissance des nombres rationnels
- Calculs avec fractions
- Approximations décimales
- Classifications numériques
- Preuves d'irrationalité
