1. 1 Effectuer la division du numérateur par le dénominateur
2. 2 Continuer la division en ajoutant des zéros au dividende
3. 3 Arrêter quand le reste devient nul (écriture finie) ou qu'une période se répète

Justification : 3 ÷ 4 = 0,75 (division exacte)

Justification : 2 ÷ 3 = 0,666... (période : 6)

Convertir \( \frac{5}{8} \) en écriture décimale :

• 5 ÷ 8 = 0 reste 5 → on place la virgule et on continue avec 50
• 50 ÷ 8 = 6 reste 2 → on a 0,6
• 20 ÷ 8 = 2 reste 4 → on a 0,62
• 40 ÷ 8 = 5 reste 0 → on a 0,625

Cette écriture est finie car le reste devient nul.

Convertir \( \frac{7}{12} \) en écriture décimale :

• 7 ÷ 12 = 0 reste 7 → on place la virgule et on continue avec 70
• 70 ÷ 12 = 5 reste 10 → on a 0,5
• 100 ÷ 12 = 8 reste 4 → on a 0,58
• 40 ÷ 12 = 3 reste 4 → on a 0,583
• 40 ÷ 12 = 3 reste 4 → on détecte la répétition !

La période commence à partir du chiffre 3.

Pour un nombre décimal fini, multiplier et diviser par la puissance de 10 appropriée :

On place le nombre complet (sans virgule) au numérateur, et une puissance de 10 au dénominateur selon le nombre de décimales.

Soit \( x = 0,\overline{6} \). Alors :

• \( x = 0,666... \)
• \( 10x = 6,666... \)
• \( 10x - x = 6,666... - 0,666... = 6 \)
• \( 9x = 6 \)
• \( x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

Soit \( x = 2,\overline{45} = 2,454545... \)

On isole la partie périodique : \( x = 2 + 0,\overline{45} \)

Pour \( y = 0,\overline{45} \) :

• \( 100y = 45,4545... \)
• \( y = 0,4545... \)
• \( 100y - y = 45 \)
• \( 99y = 45 \)
• \( y = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \)

Donc \( x = 2 + \frac{5}{11} = \frac{22}{11} + \frac{5}{11} = \frac{27}{11} \)

Soit \( x = 0,12\overline{3} = 0,12333... \)

On peut écrire : \( x = 0,12 + 0,00\overline{3} \)

On a \( 0,12 = \frac{12}{100} \)

Pour \( y = 0,00\overline{3} \) :

• \( 1000y = 3,333... \)
• \( 100y = 0,333... \)
• \( 1000y - 100y = 3 \)
• \( 900y = 3 \)
• \( y = \frac{3}{900} = \frac{1}{300} \)

Donc \( x = \frac{12}{100} + \frac{1}{300} = \frac{36}{300} + \frac{1}{300} = \frac{37}{300} \)

Une fraction irréductible \( \frac{p}{q} \) a une écriture décimale finie si et seulement si le dénominateur q, lorsqu'on le décompose en facteurs premiers, ne contient que les facteurs 2 et 5.

• \( \frac{3}{8} = \frac{3}{2^3} \) → 0,375 (finie)
• \( \frac{7}{20} = \frac{7}{2^2 \times 5} \) → 0,35 (finie)
• \( \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} \) → 0,0625 (finie)

• \( \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \) (périodique)
• \( \frac{2}{7} = 0,\overline{285714} \) (périodique)
• \( \frac{5}{12} = 0,41\overline{6} \) (périodique)

Effectuons la division : 7 ÷ 16

• 7 ÷ 16 = 0 reste 7 → 0,
• 70 ÷ 16 = 4 reste 6 → 0,4
• 60 ÷ 16 = 3 reste 12 → 0,43
• 120 ÷ 16 = 7 reste 8 → 0,437
• 80 ÷ 16 = 5 reste 0 → 0,4375

Le nombre a 3 décimales, donc :

Vérification : \( 7 \div 8 = 0,875 \) ✓

Soit \( x = 0,\overline{27} \)

Alors \( 100x = 27,\overline{27} \)

Et \( x = 0,\overline{27} \)

Donc \( 100x - x = 27 \)

\( 99x = 27 \)

Un magasin propose une remise de 1/4 (soit 0,25 ou 25%) sur un article à 80€ :

Montant de la remise : \( 80 \times 0,25 = 20 \)€

Prix après remise : \( 80 - 20 = 60 \)€

Une recette nécessite 3/5 de litre de lait. En décimal, cela fait :

Soit 600 ml de lait.

Un taux d'intérêt de 3/8 (soit 0,375) correspond à 37,5% :

1. 1 Simplifier la fraction si possible
2. 2 Effectuer la division posée du numérateur par le dénominateur
3. 3 Observer le comportement des restes
4. 4 Si reste nul → écriture finie, si reste se répète → écriture périodique

1. 1 Identifier le type d'écriture décimale (finie ou périodique)
2. 2 Pour décimale finie : placer le nombre sans virgule sur la bonne puissance de 10
3. 3 Pour décimale périodique : utiliser la méthode algébrique
4. 4 Simplifier la fraction obtenue

• 1 Arrêter la division trop tôt sans vérifier s'il y a une période
• 2 Confondre la virgule et le point dans certaines calculatrices
• 3 Oublier de simplifier la fraction avant la conversion

• 1 Ne pas identifier correctement la période dans un nombre décimal
• 2 Se tromper dans la multiplication par la puissance de 10 appropriée
• 3 Oublier de simplifier la fraction finale

Le nombre 1 peut s'écrire :

• \( 1 = 1,000... \) (écriture décimale finie)
• \( 1 = 0,999... = 0,\overline{9} \) (écriture décimale périodique)

Preuve : Soit \( x = 0,\overline{9} \), alors \( 10x = 9,\overline{9} \), donc \( 10x - x = 9 \), donc \( 9x = 9 \), donc \( x = 1 \).

Effectuons la division :

• 17 ÷ 15 = 1 reste 2 → 1,
• 20 ÷ 15 = 1 reste 5 → 1,1
• 50 ÷ 15 = 3 reste 5 → 1,13
• 50 ÷ 15 = 3 reste 5 → 1,133...

\( 15 = 3 \times 5 \)

Le dénominateur contient le facteur premier 3 (différent de 2 et 5).

Donc l'écriture décimale est nécessairement périodique.

Soit \( z = 1,1\overline{3} = 1,1333... \)

On peut écrire : \( z = 1,1 + 0,0\overline{3} \)

Où \( 1,1 = \frac{11}{10} \)

Pour \( w = 0,0\overline{3} \) : \( 100w = 3,333... \) et \( 10w = 0,333... \)

Donc \( 90w = 3 \), donc \( w = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \)

Ainsi : \( z = \frac{11}{10} + \frac{1}{30} = \frac{33}{30} + \frac{1}{30} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15} \)

✓ Vérifié !

\( 20 = 2^2 \times 5 \), donc l'écriture décimale est finie.

\( \frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} = 0,85 \)

Contrairement à x, y a une écriture décimale finie car son dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5.

• Effectuer la division du numérateur par le dénominateur
• Le résultat est fini si le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5
• Le résultat est périodique sinon

• Pour un décimal fini : placer sur la bonne puissance de 10
• Pour un décimal périodique : utiliser la méthode algébrique
• Toujours simplifier la fraction obtenue

• \( \frac{p}{q} \) (irréductible) a une écriture décimale finie si et seulement si \( q = 2^m \times 5^n \)
• Sinon, l'écriture est périodique