Loi de Mendel : Chaque parent transmet un allèle au hasard à sa descendance.
Utiliser le carré de Punnett pour déterminer les génotypes possibles de la descendance.
Chaque parent Aa produit 50% de gamètes A et 50% de gamètes a
♂\♀ | A | a
A | AA| Aa|
a | Aa| aa|
AA : 1/4, Aa : 1/2, aa : 1/4
\(P(aa) = \frac{1}{4} = 0.25\)
La probabilité que la descendance soit aa est de 0.25 ou 25%.
• Séparation des allèles : Chaque parent contribue un allèle
• Probabilité uniforme : Chaque combinaison a la même probabilité
• Carré de Punnett : Outil de visualisation pour les croisements
Loi binomiale : Modélise le nombre de succès dans n essais indépendants.
n = 10 (nombre d'oiseaux observés), k = 3 (nombre de passereaux), p = 0.4 (probabilité de passer à être un passereau)
\(P(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
\(C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)
\(p^k = 0.4^3 = 0.064\)
\((1-p)^{n-k} = 0.6^7 = 0.0279936\)
\(P(X=3) = 120 \times 0.064 \times 0.0279936 = 0.215\)
La probabilité qu'il y ait exactement 3 passereaux sur 10 oiseaux est d'environ 0.215 ou 21.5%.
• Indépendance : Chaque observation est indépendante
• Loi binomiale : Utilisée pour compter les succès
• Calcul : Coefficient binomial multiplié par les probabilités
Expérience de Bernoulli répétée : Chaque plante a une probabilité fixe de survie.
n = 5 (nombre de plantes), k = 3 (nombre de survivantes), p = 0.7 (probabilité de survie)
\(P(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
\(C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
\(p^k = 0.7^3 = 0.343\)
\((1-p)^{n-k} = 0.3^2 = 0.09\)
\(P(X=3) = 10 \times 0.343 \times 0.09 = 0.3087\)
La probabilité que sur 5 plantes, exactement 3 survivent est d'environ 0.309 ou 30.9%.
• Indépendance : La survie de chaque plante est indépendante
• Binomiale : Modèle approprié pour ce type de problème
• Calcul : Application directe de la formule
Probabilité complémentaire : Calculer la probabilité qu'un événement ne se produise pas.
\(P(\text{pas de mutation}) = 1 - 0.05 = 0.95\)
n = 20 bactéries
\(P(\text{aucune mutation}) = 0.95^{20}\)
\(0.95^{20} = (0.95)^{20} \approx 0.358\)
La probabilité que sur 20 bactéries, aucune ne présente la mutation est d'environ 0.358 ou 35.8%.
• Indépendance : La mutation de chaque bactérie est indépendante
• Complémentaire : Utiliser la probabilité inverse
• Puissance : Multiplier les probabilités identiques
Événement complémentaire : Si 30% sont malades, alors 70% sont sains.
P(malade) = 0.30
P(sain) = 1 - P(malade) = 1 - 0.30 = 0.70
La probabilité qu'un poisson choisi au hasard soit sain est 0.70
La probabilité qu'un poisson choisi au hasard soit sain est de 0.70 ou 70%.
• Complémentaire : P(sain) = 1 - P(malade)
• Probabilité totale : La somme des probabilités est 1
• Calcul simple : Soustraction directe
Probabilité cumulative : Calculer P(X ≥ 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8).
n = 8 (arbres choisis), p = 0.6 (probabilité d'être un chêne)
\(P(X=5) = C_8^5 \times 0.6^5 \times 0.4^3 = 56 \times 0.07776 \times 0.064 \approx 0.279\)
\(P(X=6) = C_8^6 \times 0.6^6 \times 0.4^2 = 28 \times 0.046656 \times 0.16 \approx 0.209\)
\(P(X=7) = C_8^7 \times 0.6^7 \times 0.4^1 = 8 \times 0.0279936 \times 0.4 \approx 0.0896\)
\(P(X=8) = C_8^8 \times 0.6^8 \times 0.4^0 = 1 \times 0.01679616 \times 1 \approx 0.0168\)
\(P(X \geq 5) = 0.279 + 0.209 + 0.0896 + 0.0168 = 0.5944\)
La probabilité qu'il y ait au moins 5 chênes sur 8 arbres est d'environ 0.594 ou 59.4%.
• Somme des probabilités : Additionner les probabilités individuelles
• Calcul binomial : Appliquer la formule pour chaque valeur
• Approximation : Arrondir à 3 décimales pour lisibilité
Loi binomiale : Modélise le nombre de succès dans n essais indépendants.
n = 12 (individus), k = 4 (réussites), p = 0.25 (probabilité de succès)
\(P(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
\(C_{12}^{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\)
\(p^k = 0.25^4 = 0.00390625\)
\((1-p)^{n-k} = 0.75^8 = 0.100112915\)
\(P(X=4) = 495 \times 0.00390625 \times 0.100112915 \approx 0.194\)
La probabilité que 4 insectes sur 12 se reproduisent avec succès est d'environ 0.194 ou 19.4%.
• Indépendance : Chaque reproduction est indépendante
• Binomiale : Modèle approprié pour ce type de problème
• Calcul : Application directe de la formule
Combinaisons multinomiales : Calculer la probabilité d'une distribution spécifique de génotypes.
Deux parents Aa : P(AA) = 0.25, P(Aa) = 0.5, P(aa) = 0.25
2 AA, 0 Aa, 2 aa parmi 4 enfants
\(P = \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!} \times p_1^{n_1} \times p_2^{n_2} \times p_3^{n_3}\)
\(\frac{4!}{2!0!2!} = \frac{24}{2 \times 1 \times 2} = 6\)
\(0.25^2 \times 0.5^0 \times 0.25^2 = 0.0625 \times 1 \times 0.0625 = 0.00390625\)
\(P = 6 \times 0.00390625 = 0.0234375\)
La probabilité que 2 enfants soient AA et 2 soient aa est d'environ 0.023 ou 2.3%.
• Multinomiale : Extension de la binomiale pour plusieurs catégories
• Coefficient : Compte le nombre de façons d'organiser les résultats
• Calcul : Multiplication du coefficient par les probabilités
Probabilité complémentaire : Calculer P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).
n = 6 (graines), p = 0.15 (probabilité de germination)
\(P(X=0) = C_6^0 \times 0.15^0 \times 0.85^6 = 1 \times 1 \times 0.85^6\)
\(0.85^6 \approx 0.377\)
\(P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.377 = 0.623\)
La probabilité qu'au moins une graine sur 6 germe est d'environ 0.623 ou 62.3%.
• Complémentaire : P(au moins un) = 1 - P(aucun)
• Calcul : Utiliser la formule binomiale pour P(X=0)
• Simplification : Calculer la probabilité opposée est souvent plus simple
Loi binomiale : Modélise le nombre de succès dans n essais indépendants.
n = 3 (expériences), k = 2 (succès), p = 0.6 (probabilité de succès)
\(P(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
\(C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3\)
\(p^k = 0.6^2 = 0.36\)
\((1-p)^{n-k} = 0.4^1 = 0.4\)
\(P(X=2) = 3 \times 0.36 \times 0.4 = 0.432\)
La probabilité que sur 3 expériences, exactement 2 réussissent est de 0.432 ou 43.2%.
• Indépendance : Chaque expérience est indépendante
• Binomiale : Modèle approprié pour ce type de problème
• Calcul : Application directe de la formule
