Suite arithmétique : Suite définie par un premier terme et une raison constante.
Utiliser la formule du terme général : \(u_n = u_0 + nr\)
u₀ = 3, r = 4, n = 10
\(u_{10} = u_0 + 10r = 3 + 10 \times 4\)
\(u_{10} = 3 + 40 = 43\)
\(u_{10} = 43\)
• Formule générale : \(u_n = u_0 + nr\) pour une suite arithmétique
• Substitution : Remplacer les valeurs connues dans la formule
• Calcul : Effectuer la multiplication et l'addition
Suite arithmétique décroissante : La raison est négative, donc la suite diminue.
u₀ = 7, r = -2, n = 5
\(u_5 = u_0 + 5r = 7 + 5 \times (-2)\)
\(u_5 = 7 - 10 = -3\)
\(u_5 = -3\)
• Signe de la raison : Une raison négative implique une suite décroissante
• Calcul algébrique : Attention aux signes lors des opérations
• Formule générale : Valable pour toute suite arithmétique
Relation de récurrence : Chaque terme est défini à partir du précédent.
v₀ = 1 et vₙ₊₁ = vₙ + 5, donc r = 5
\(v_n = v_0 + nr = 1 + n \times 5\)
\(v_8 = 1 + 8 \times 5 = 1 + 40 = 41\)
\(v_8 = 41\)
• Récurrence : vₙ₊₁ = vₙ + r implique une suite arithmétique de raison r
• Conversion : Relation de récurrence → Formule explicite
• Calcul : Substituer n = 8 dans la formule générale
Modèle linéaire : La croissance est constante, donc suit une suite arithmétique.
u₀ = 10 cm (taille initiale), r = 2 cm (croissance quotidienne)
Au 15ème jour, on cherche u₁₄ (car le 1er jour correspond à n=0)
\(u_{14} = u_0 + 14r = 10 + 14 \times 2\)
\(u_{14} = 10 + 28 = 38\) cm
La plante mesurera 38 cm au 15ème jour.
• Indexation : Le 1er jour correspond à n=0, donc le 15ème à n=14
• Modélisation : Phénomène de croissance constante → suite arithmétique
• Calcul : Application de la formule avec les bonnes valeurs
Suite décroissante : La température diminue régulièrement de 0.5°C par heure.
u₀ = 20°C (température à midi), r = -0.5°C (diminution horaire)
De midi (12h) à 18h : 18 - 12 = 6 heures
\(u_6 = u_0 + 6r = 20 + 6 \times (-0.5)\)
\(u_6 = 20 - 3 = 17\)°C
La température sera de 17°C à 18h.
• Temps : Calculer le nombre d'unités de temps écoulées
• Suite décroissante : La raison est négative
• Application : Phénomène de variation constante → suite arithmétique
Croissance démographique : Augmentation constante de 50 individus par an.
u₀ = 1000 (en 2020), r = 50 (augmentation annuelle)
De 2020 à 2025 : 2025 - 2020 = 5 ans
\(u_5 = u_0 + 5r = 1000 + 5 \times 50\)
\(u_5 = 1000 + 250 = 1250\) individus
Il y aura 1250 individus en 2025.
• Temps : Calculer le nombre d'unités de temps écoulées
• Modélisation : Variation constante → suite arithmétique
• Calcul : Application de la formule avec les bonnes valeurs
Système d'équations : Utiliser les relations entre termes connus pour trouver les paramètres.
\(w_3 = w_0 + 3r = 15\) et \(w_7 = w_0 + 7r = 27\)
\((w_0 + 7r) - (w_0 + 3r) = 27 - 15\)
\(4r = 12\)
\(r = \frac{12}{4} = 3\)
À partir de \(w_3 = w_0 + 3r = 15\)
\(w_0 = 15 - 3 \times 3 = 15 - 9 = 6\)
La raison est \(r = 3\) et le premier terme est \(w_0 = 6\).
• Système : Deux équations pour deux inconnues
• Élimination : Soustraire les équations pour éliminer w₀
• Substitution : Utiliser la valeur trouvée pour calculer l'autre inconnue
Accumulation linéaire : Augmentation constante de 15€ par mois.
u₀ = 20€ (montant initial), r = 15€ (économies mensuelles)
Au bout de 8 mois, on cherche u₈
\(u_8 = u_0 + 8r = 20 + 8 \times 15\)
\(u_8 = 20 + 120 = 140\)€
L'étudiant aura 140€ au bout de 8 mois.
• Modélisation : Accumulation constante → suite arithmétique
• Indexation : Le rang correspond au nombre de périodes écoulées
• Calcul : Application directe de la formule générale
Suite arithmétique décalée : La première heure est différente des suivantes.
Heure 1 : 60 km, Heures suivantes : 65 km chacune
Heures 2 à 5 : 4 heures × 65 km/h = 260 km
Distance totale = 60 + 260 = 320 km
Le véhicule aura parcouru 320 km après 5 heures.
• Distinction : Traiter différemment le premier terme
• Somme : Additionner les distances parcourues à chaque heure
• Calcul : Multiplier les heures restantes par la vitesse constante
Altitude cumulative : Montée initiale différente des suivantes, à ajouter à l'altitude de départ.
Altitude départ = 500m, Montée 1ère heure = 100m, Montées suivantes = 120m
Heures 2 à 6 : 5 heures × 120 m/h = 600 m
Montée totale = 100 + 600 = 700 m
Altitude finale = 500 + 700 = 1200 m
Le randonneur atteindra une altitude de 1200 m après 6 heures.
• Altitude : Ajouter la montée totale à l'altitude de départ
• Différence : Traiter la première heure séparément
• Somme : Additionner toutes les montées effectuées
