Fonction affine : f(x) = ax + b avec a = 2 et b = -3.
Pour tracer une droite affine, on utilise deux points : (0, f(0)) et (1, f(1)).
f(0) = 2(0) - 3 = -3
f(1) = 2(1) - 3 = -1
Passant par (0, -3) et (1, -1)
Comme a = 2 > 0, la fonction est croissante sur ℝ.
La fonction f(x) = 2x - 3 est croissante sur ℝ.
• Variations : Si a > 0, la fonction est croissante
• Tracé : Une droite est déterminée par deux points
• Ordonnée à l'origine : f(0) = b = -3
Fonction affine : g(x) = ax + b avec a = -1 et b = 4.
g(0) = -0 + 4 = 4
g(1) = -1 + 4 = 3
Passant par (0, 4) et (1, 3)
Comme a = -1 < 0, la fonction est décroissante sur ℝ.
La fonction g(x) = -x + 4 est décroissante sur ℝ.
• Variations : Si a < 0, la fonction est décroissante
• Tracé : Une droite est déterminée par deux points
• Ordonnée à l'origine : g(0) = b = 4
Fonction exponentielle : h(x) = e^(kx) avec k = 0.5 > 0.
h(0) = e^(0.5×0) = e^0 = 1
h(2) = e^(0.5×2) = e^1 ≈ 2.72
Courbe exponentielle croissante passant par (0, 1)
Comme k = 0.5 > 0, la fonction est strictement croissante sur ℝ.
La fonction h(x) = e^(0.5x) est strictement croissante sur ℝ, avec asymptote y = 0.
• Variations : Si k > 0, la fonction exponentielle est croissante
• Asymptote : La fonction tend vers 0 quand x tend vers -∞
• Comportement : Croissance très rapide pour x positif
Comparaison : f(x) = 3x (affine) vs g(x) = e^(0.1x) (exponentielle).
f(10) = 3(10) = 30
g(10) = e^(0.1×10) = e^1 ≈ 2.72
Pour x = 10, f(10) > g(10) donc l'affine est supérieure
L'exponentielle finira par dépasser l'affine pour des valeurs suffisamment grandes de x
Pour x = 10, f(10) = 30 > g(10) ≈ 2.72, mais l'exponentielle finira par dépasser l'affine.
• Comparaison locale : Comparer les valeurs pour une abscisse donnée
• Comparaison asymptotique : L'exponentielle croît plus vite que l'affine
• Comportement global : L'exponentielle finit toujours par dominer
Modèle exponentiel : P(t) = 1000·e^(0.02t) avec taux de croissance 2%.
a = 1000 (population initiale), k = 0.02 (taux de croissance)
P(0) = 1000·e^(0.02×0) = 1000·e^0 = 1000
P(50) = 1000·e^(0.02×50) = 1000·e^1 ≈ 2718
Courbe exponentielle croissante partant de (0, 1000)
La population croît exponentiellement avec une croissance de 2% par unité de temps.
• Modélisation exponentielle : Utilisée pour les croissances rapides
• Paramètres : a est la valeur initiale, k le taux de croissance
• Interprétation : La croissance s'accélère avec le temps
Modèle linéaire : T(h) = 25 - 2h, diminution de 2°C par heure.
a = -2 (coefficient directeur), b = 25 (ordonnée à l'origine)
T(0) = 25 - 2(0) = 25°C
T(5) = 25 - 2(5) = 15°C
Droite décroissante passant par (0, 25) et (5, 15)
La température diminue linéairement de 2°C par heure.
• Modélisation linéaire : Utilisée pour les variations constantes
• Interprétation : Le coefficient directeur donne la variation par unité
• Variations : Coefficient négatif → fonction décroissante
Fonction affine : Déterminée par deux points : (0, 2) et (3, 8).
(x₁, y₁) = (0, 2) et (x₂, y₂) = (3, 8)
a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (8 - 2)/(3 - 0) = 6/3 = 2
b = y₁ = 2 (puisque x₁ = 0)
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x + 2, croissante sur ℝ.
• Détermination : Une fonction affine est déterminée par deux points
• Coefficient directeur : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Ordonnée à l'origine : b = f(0) = y₁ si x₁ = 0
Comparaison : f(x) = 5x + 1 (affine) vs g(x) = 2·e^(0.3x) (exponentielle).
f(x) = 5x + 1, coefficient directeur a = 5
g(x) = 2·e^(0.3x), coefficient k = 0.3 > 0
Pour x petit, l'affine peut être supérieure, mais l'exponentielle finira par dominer
f(10) = 5(10) + 1 = 51, g(10) = 2·e^(3) ≈ 40.2
L'exponentielle finit par croître plus vite que l'affine, malgré des valeurs initiales différentes.
• Croissance linéaire : Taux constant de variation
• Croissance exponentielle : Taux de variation qui augmente
• Comparaison asymptotique : L'exponentielle domine toujours l'affine
Modèle linéaire : C(t) = 1000 + 50t, épargne initiale de 1000€, gain de 50€ par mois.
a = 50 (gain mensuel), b = 1000 (capital initial)
C(0) = 1000 + 50(0) = 1000€
C(12) = 1000 + 50(12) = 1600€
Droite croissante passant par (0, 1000) et (12, 1600)
Le capital croît linéairement de 50€ par mois à partir de 1000€.
• Modélisation linéaire : Utilisée pour les croissances constantes
• Interprétation : Le coefficient directeur donne le gain par unité
• Variations : Coefficient positif → fonction croissante
Comparaison : f(x) = -0.5x + 6 (affine décroissante) vs g(x) = 3·e^(-0.1x) (exponentielle décroissante).
a = -0.5 < 0 → fonction décroissante linéairement
k = -0.1 < 0 → fonction exponentielle décroissante
f(0) = 6, g(0) = 3·e^0 = 3
f(10) = -0.5(10) + 6 = 1, g(10) = 3·e^(-1) ≈ 1.10
Les deux fonctions sont décroissantes, mais la décroissance exponentielle est plus rapide initialement.
• Fonction affine décroissante : Taux constant de diminution
• Fonction exponentielle décroissante : Taux de diminution qui ralentit
• Comparaison : L'exponentielle décroît plus rapidement au début
