Graphes et Caractéristiques | Enseignement Scientifique 1ère

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels constants. Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) et b est l'ordonnée à l'origine. L'ensemble de définition est ℝ. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

• Le graphe est une droite
• Le coefficient directeur a détermine la pente de la droite
• Si a > 0, la droite est croissante
• Si a < 0, la droite est décroissante
• Si a = 0, la droite est horizontale (fonction constante)
• La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0, b)

• f(x) = 2x + 3 : droite croissante de pente 2
• g(x) = -x + 5 : droite décroissante de pente -1
• h(x) = 4 : droite horizontale (constante)

La fonction exponentielle de base a (où a > 0 et a ≠ 1) est définie par f(x) = aˣ. La fonction exponentielle naturelle est f(x) = eˣ, où e ≈ 2.718. L'ensemble de définition est ℝ. La fonction exponentielle modélise les phénomènes de croissance ou de décroissance rapide.

• Si a > 1, la fonction est strictement croissante
• Si 0 < a < 1, la fonction est strictement décroissante
• Pour tout x, aˣ > 0
• a⁰ = 1 (la courbe passe par le point (0, 1))
• La droite d'équation y = 0 est une asymptote horizontale
• La croissance est de plus en plus rapide

• Croissance démographique
• Décroissance radioactive
• Intérêts composés
• Évolution de populations biologiques

Pour déterminer l'image d'une valeur x, on trace une droite verticale passant par x sur l'axe des abscisses, on lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe. Par exemple, si on veut lire f(2), on trace la droite x = 2 et on lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe.

Pour déterminer les antécédents d'une valeur y, on trace une droite horizontale passant par y sur l'axe des ordonnées, on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe. Par exemple, pour résoudre f(x) = 3, on trace la droite y = 3 et on lit les abscisses des points d'intersection.

La fonction est positive là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, négative là où elle est en-dessous, et nulle aux points d'intersection avec l'axe des abscisses (les racines de la fonction).

La fonction f(t) = 100 × 2ᵗ est strictement croissante car la base 2 > 1. Le coefficient directeur de la fonction exponentielle est toujours positif, ce qui signifie que la population augmente sans cesse. La croissance est de plus en plus rapide au fil du temps.

• Au temps t = 0 : f(0) = 100 × 2⁰ = 100 bactéries
• Au temps t = 3 : f(3) = 100 × 2³ = 800 bactéries
• Au temps t = 5 : f(5) = 100 × 2⁵ = 3200 bactéries

Le modèle exponentiel montre une croissance très rapide. Chaque heure, la population double. Cela correspond à une croissance idéale sans limitation de ressources. En réalité, les croissances exponentielles sont limitées par les contraintes environnementales.

Les fonctions exponentielles modélisent la croissance des populations dans des conditions idéales. Les fonctions affines peuvent modéliser la croissance linéaire dans certaines phases de développement. Les fonctions logarithmiques sont utilisées pour modéliser des phénomènes de saturation.

La décroissance radioactive suit une loi exponentielle. La charge d'un condensateur suit une fonction exponentielle. Les fonctions affines modélisent les mouvements uniformes. Les fonctions linéaires sont des cas particuliers des fonctions affines.

La concentration d'un réactif dans une réaction d'ordre zéro suit une fonction affine. La concentration dans une réaction d'ordre un suit une fonction exponentielle. Le pH est lié à la concentration par une fonction logarithmique.

• Confondre image et antécédent
• Oublier de déterminer le domaine de définition
• Ne pas respecter les unités
• Appliquer des formules sans vérifier les hypothèses

• Vérifier que chaque x a une unique image
• Déterminer le domaine de définition avant de travailler
• Tester des valeurs pour valider les lectures
• Représenter graphiquement pour vérifier

• Forme : f(x) = ax + b
• Coefficient directeur : a = 2
• Ordonnée à l'origine : b = 3
• Comme a = 2 > 0, la fonction est croissante

Pour tracer la droite, on peut utiliser deux points :

• Point d'intersection avec l'axe des ordonnées : (0, 3)
• Calculons un autre point : f(1) = 2×1 + 3 = 5, donc point (1, 5)

La droite passe par les points (0, 3) et (1, 5). Elle est croissante car a > 0.

• Base a = 3 > 1 ⇒ la fonction est strictement croissante
• Pour x = 0 : g(0) = 3⁰ = 1 ⇒ le graphe passe par (0, 1)
• Pour tout x, g(x) > 0 ⇒ la fonction est toujours positive
• La droite y = 0 est une asymptote horizontale

Quelques points pour le tracé :

• g(-1) = 3⁻¹ = 1/3 ≈ 0.33
• g(0) = 3⁰ = 1
• g(1) = 3¹ = 3
• g(2) = 3² = 9

La courbe est strictement croissante et passe par le point (0, 1).

• Forme : f(x) = ax + b
• Représentation : droite
• Coefficient directeur : a (pente)
• Ordonnée à l'origine : b
• Croissante si a > 0, décroissante si a < 0

• Forme : f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
• Représentation : courbe exponentielle
• Croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1
• Passe par le point (0, 1)
• Toujours positive

• Lire les images : tracer une droite verticale
• Lire les antécédents : tracer une droite horizontale
• Déterminer le signe : position par rapport à l'axe des abscisses
• Identifier les variations : croissance/décroissance