Définition des Fonctions | Enseignement Scientifique 1ère

• f(x) : image de x par la fonction f
• x ↦ f(x) : x a pour image f(x)
• f : D → E : f est une fonction de D vers E
• y = f(x) : équation de la fonction

• Antécédent : x est l'antécédent de f(x)
• Image : f(x) est l'image de x
• Domaine de définition : ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe
• Ensemble de définition : D = {x | f(x) existe}

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 3. Pour x = 5, on a f(5) = 2×5 + 3 = 13. On dit que 5 est l'antécédent de 13, et que 13 est l'image de 5 par f.

Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini. Il est noté Df. Pour déterminer le domaine de définition, il faut identifier les valeurs interdites (division par zéro, racine carrée d'un nombre négatif, logarithme d'un nombre négatif ou nul).

• Pour f(x) = 2x + 3 : Df = ℝ (tous les réels)
• Pour f(x) = 1/x : Df = ℝ* = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ (x ≠ 0)
• Pour f(x) = √x : Df = [0, +∞[ (x ≥ 0)
• Pour f(x) = √(x-2) : Df = [2, +∞[ (x-2 ≥ 0)

1. Identifier les expressions pouvant poser problème
2. Poser les conditions d'existence
3. Résoudre les inéquations ou équations
4. Donner l'ensemble de définition

La courbe représentative d'une fonction f dans un repère (O, I, J) est l'ensemble des points M(x, y) tels que y = f(x) et x appartient au domaine de définition de f. Chaque point de la courbe a pour coordonnées (x, f(x)).

• Lecture d'images : pour x = a, on lit f(a) sur l'axe des ordonnées
• Lecture d'antécédents : pour y = b, on cherche les x tels que f(x) = b
• Détermination du domaine de définition : projection sur l'axe des abscisses
• Recherche de points particuliers : intersections avec les axes

La fonction f(x) = x² a pour domaine de définition ℝ. Sa courbe est une parabole passant par l'origine O(0,0). Pour x = 2, f(2) = 4, donc le point (2, 4) est sur la courbe.

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) et b est l'ordonnée à l'origine. L'ensemble de définition est ℝ. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

• Si a > 0, la fonction est croissante
• Si a < 0, la fonction est décroissante
• Si a = 0, la fonction est constante
• La droite passe par le point (0, b)
• La pente de la droite est a

• f(x) = 2x + 3 (a = 2, b = 3) : fonction croissante
• g(x) = -x + 5 (a = -1, b = 5) : fonction décroissante
• h(x) = 4 (a = 0, b = 4) : fonction constante

La fonction exponentielle de base a (où a > 0 et a ≠ 1) est définie par f(x) = aˣ. La fonction exponentielle naturelle est f(x) = eˣ, où e ≈ 2.718. L'ensemble de définition est ℝ. La fonction exponentielle modélise les phénomènes de croissance ou de décroissance rapide.

• Si a > 1, la fonction est croissante
• Si 0 < a < 1, la fonction est décroissante
• Pour tout x, aˣ > 0
• a⁰ = 1
• La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale

• Croissance démographique
• Décroissance radioactive
• Intérêts composés
• Évolution de populations biologiques

Le modèle P(t) = 100 × 2ᵗ est défini pour t ≥ 0 (temps positif). En pratique, t ∈ [0, +∞[. La fonction est strictement croissante car la base 2 > 1.

Après 5 heures, la population est de 3200 bactéries.

Le modèle exponentiel montre une croissance très rapide. Chaque heure, la population double. Cela correspond à une croissance idéale sans limitation de ressources. En réalité, les croissances exponentielles sont limitées par les contraintes environnementales.

Les fonctions exponentielles modélisent la croissance des populations dans des conditions idéales. Les fonctions affines peuvent modéliser la croissance linéaire dans certaines phases de développement. Les fonctions logarithmiques sont utilisées pour modéliser des phénomènes de saturation.

La décroissance radioactive suit une loi exponentielle. La charge d'un condensateur suit une fonction exponentielle. Les fonctions affines modélisent les mouvements uniformes. Les fonctions linéaires sont des cas particuliers des fonctions affines.

La concentration d'un réactif dans une réaction d'ordre zéro suit une fonction affine. La concentration dans une réaction d'ordre un suit une fonction exponentielle. Le pH est lié à la concentration par une fonction logarithmique.

• Confondre image et antécédent
• Oublier de déterminer le domaine de définition
• Ne pas vérifier les conditions d'existence
• Appliquer des formules sans vérifier les hypothèses

• Vérifier que chaque x a une unique image
• Déterminer le domaine de définition avant de travailler
• Tester des valeurs pour valider les calculs
• Représenter graphiquement pour vérifier

La fonction f(x) = 3x - 5 est une fonction affine. Il n'y a aucune restriction sur x, donc Df = ℝ.

• f(2) = 3×2 - 5 = 6 - 5 = 1
• f(-1) = 3×(-1) - 5 = -3 - 5 = -8

On cherche x tel que f(x) = 7 :

On vérifie : f(4) = 3×4 - 5 = 12 - 5 = 7 ✓

La fonction g(x) = 2ˣ est une fonction exponentielle. Elle est définie pour tout réel x, donc Dg = ℝ.

• g(0) = 2⁰ = 1
• g(3) = 2³ = 8

On cherche x tel que g(x) = 8, c'est-à-dire 2ˣ = 8 :

Donc x = 3. La fonction g est strictement croissante, donc l'équation g(x) = 8 admet une unique solution : x = 3.

• Fonction : relation qui associe à chaque x une unique image f(x)
• Domaine de définition : ensemble des x pour lesquels f(x) existe
• Fonction affine : f(x) = ax + b
• Fonction exponentielle : f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)

• Représentation graphique d'une fonction affine : droite
• Représentation graphique d'une fonction exponentielle : courbe exponentielle
• Domaine de définition de fonctions affines : ℝ
• Domaine de définition de fonctions exponentielles : ℝ