Exemples Concrets de Suites Arithmétiques | Enseignement Scientifique 1ère
Introduction
Découvrez comment les suites arithmétiques modélisent des phénomènes réels
Exemple 1 : Épargne mensuelle
Situation concrète
Un étudiant place 100 euros chaque mois sur un compte d'épargne. Initialement, le compte est vide. On note un le montant total sur le compte au bout de n mois. Cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 et de raison r = 100.
Analyse de l'exemple d'épargne
Modélisation mathématique
- u0 = 0 (montant initial)
- r = 100 (raison : augmentation mensuelle)
- un = u0 + n×r = 0 + 100n = 100n
- Au bout de 6 mois : u6 = 100 × 6 = 600 euros
- Au bout de 12 mois : u12 = 100 × 12 = 1200 euros
- Au bout de 24 mois : u24 = 100 × 24 = 2400 euros
Le modèle montre une croissance linéaire du montant total sur le compte. Chaque mois, le montant augmente de 100 euros, ce qui correspond à une suite arithmétique de raison 100. La relation entre le nombre de mois et le montant total est linéaire.
Exemple 2 : Production industrielle
Fabrication quotidienne
Une usine produit 50 unités chaque jour. On note vn le nombre total d'unités produites au bout de n jours. Initialement, aucune unité n'a été produite (v0 = 0). Cette situation correspond à une suite arithmétique de premier terme v0 = 0 et de raison r = 50.
Le modèle montre une croissance linéaire de la production cumulative.
- Calcul de la production après un certain nombre de jours
- Prévision de la production future
- Planification de la production
- Évaluation de la performance
Exemple 3 : Croissance d'une plante
Étude biologique
Un botaniste mesure la hauteur d'une plante chaque semaine. La plante mesure 10 cm à la plantation. Chaque semaine, elle grandit de 2 cm. On note hn la hauteur de la plante au bout de n semaines. La suite (hn) est arithmétique de premier terme h0 = 10 et de raison r = 2.
Le modèle représente une croissance linéaire de la plante.
- Hauteur après 4 semaines : h4 = 10 + 2×4 = 18 cm
- Hauteur après 10 semaines : h10 = 10 + 2×10 = 30 cm
- Hauteur après 16 semaines : h16 = 10 + 2×16 = 42 cm
Exemple 4 : Température
Suivi thermique
Un laboratoire chauffe un liquide. Initialement, la température est de 20°C. Chaque minute, la température augmente de 3°C. On note tn la température au bout de n minutes. La suite (tn) est arithmétique de premier terme t0 = 20 et de raison r = 3.
Le modèle représente une augmentation linéaire de la température.
- Température après 5 min : t5 = 20 + 3×5 = 35°C
- Température après 10 min : t10 = 20 + 3×10 = 50°C
- Température après 20 min : t20 = 20 + 3×20 = 80°C
Comparaison des modèles
Caractéristiques communes
- Augmentation ou diminution constante de la valeur
- Relation linéaire entre le rang et la valeur
- Représentation graphique par des points alignés
- Formule du terme général : un = u0 + n×r
- Économie : croissance linéaire des revenus ou des dépenses
- Production : fabrication constante sur une période
- Biologie : croissance linéaire dans certaines conditions
- Physique : mouvement uniforme ou chauffage constant
- Le modèle est valable tant que la croissance reste constante
- Les phénomènes réels peuvent dévier de la linéarité à long terme
- Il faut vérifier que les conditions restent stables
Exercice 1
Exercice d'application
Un employé reçoit une augmentation de salaire de 150 euros chaque année. Son salaire initial est de 1800 euros par mois. Modélisez cette situation avec une suite arithmétique et déterminez son salaire au bout de 4 ans.
Solution exercice 1
Correction détaillée
- Salarié initial : u0 = 1800 euros
- Augmentation annuelle : r = 150 euros
- Modèle : un = 1800 + 150n
Au bout de 4 ans, le salaire mensuel sera de 2400 euros.
Exercice 2
Deuxième exercice
Une entreprise produit 200 unités le premier mois. Chaque mois suivant, la production augmente de 25 unités. Modélisez cette situation avec une suite arithmétique et déterminez la production cumulative au bout de 6 mois.
Solution exercice 2
Correction détaillée
- Production initiale : u0 = 200 unités
- Augmentation mensuelle : r = 25 unités
- Modèle : un = 200 + 25n
La production cumulative au bout de 6 mois est la somme des 6 premiers termes :
La production cumulative au bout de 6 mois est de 1575 unités.
Résumé
Points clés
- Terme général : un = u0 + n×r
- Somme des n premiers termes : Sn = (n/2) × (2u0 + (n-1)r)
- Relation de récurrence : un+1 = un + r
- La différence entre deux termes consécutifs est constante
- La suite est croissante si r > 0, décroissante si r < 0
- Représentation graphique : points alignés sur une droite
- Modélise les phénomènes à croissance linéaire
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences