Interprétation Graphique | Enseignement Scientifique 1ère
Introduction
Découvrez comment interpréter graphiquement les suites arithmétiques
Définition de l'interprétation graphique
Qu'est-ce que l'interprétation graphique ?
L'interprétation graphique consiste à représenter visuellement une suite arithmétique dans un repère cartésien pour en analyser les propriétés. Pour une suite arithmétique (un), on trace les points de coordonnées (n, un) dans un repère (O, I, J). Lorsque les points sont alignés, cela confirme la nature arithmétique de la suite. L'alignement des points correspond à la relation linéaire entre le rang n et la valeur du terme un.
Représentation des suites arithmétiques
Points alignés
Les points représentant une suite arithmétique sont alignés sur une droite. Cela découle de la formule du terme général : un = u0 + n×r. Si on pose f(x) = u0 + r×x, alors f est une fonction affine et les points (n, un) appartiennent à la droite d'équation y = u0 + r×x. La pente de cette droite est égale à la raison r de la suite.
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. La droite passant par les points (n, un) a pour équation : y = r×x + u0. La pente de la droite est la raison r. L'ordonnée à l'origine est le premier terme u0. L'alignement des points confirme la nature arithmétique de la suite.
Sens de variation
Croissance et décroissance
Le sens de variation d'une suite arithmétique se déduit graphiquement de l'inclinaison de la droite. Si la raison r est positive (r > 0), la droite est croissante et la suite est croissante. Si la raison r est négative (r < 0), la droite est décroissante et la suite est décroissante. Si la raison r est nulle (r = 0), la droite est horizontale et la suite est constante.
- Suite croissante (r > 0) : droite avec pente positive
- Suite décroissante (r < 0) : droite avec pente négative
- Suite constante (r = 0) : droite horizontale
Calculs graphiques
Déterminer les paramètres
La raison r d'une suite arithmétique peut être déterminée graphiquement en mesurant la pente de la droite. Pour deux points (n1, un1) et (n2, un2) de la droite, la raison est : r = (un2 - un1)/(n2 - n1). Alternativement, si on connaît un terme un et le rang n, et que l'on connaît un autre terme um et le rang m, alors : r = (un - um)/(n - m).
Le premier terme u0 est l'ordonnée à l'origine de la droite, c'est-à-dire la valeur de y quand x = 0. Sur le graphique, c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Si la droite passe par le point (0, u0), alors u0 est le premier terme de la suite.
Exemple concret
Étude de cas : Épargne mensuelle
Un étudiant place 50 euros chaque mois sur un compte d'épargne. Le compte est vide au départ. On note un le montant total sur le compte au bout de n mois. Modélisons cette situation graphiquement. La suite (un) est arithmétique de premier terme u0 = 0 et de raison r = 50. Le terme général est un = 50n.
Analyse du graphique
Interprétation
Sur le graphique, on observe que les points (0,0), (1,50), (2,100), (3,150), etc. sont alignés sur une droite passant par l'origine. La pente de la droite est de 50, ce qui correspond à la raison r = 50. Le premier terme est u0 = 0, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine. La droite est croissante, ce qui confirme que la suite est croissante (car r > 0).
Grâce au graphique, on peut prédire le montant total après un certain nombre de mois. Par exemple, après 12 mois, on lit sur le graphique que le montant est de 600 euros. On peut aussi déterminer le nombre de mois nécessaires pour atteindre un objectif donné. Si l'étudiant veut atteindre 500 euros, il faut environ 10 mois.
Applications scientifiques
Modèles en sciences naturelles
La croissance linéaire d'une plante peut être modélisée par une suite arithmétique. Si une plante grandit de 2 cm chaque semaine, sa hauteur suit une suite arithmétique de raison 2. Le graphique montre une droite croissante passant par l'origine si la plante commence à 0 cm.
La distance parcourue à intervalles réguliers par un objet en mouvement uniforme suit une suite arithmétique. Si un objet se déplace à vitesse constante de 10 m/s, la distance parcourue chaque seconde augmente de 10 mètres. Le graphique distance-temps est une droite.
Dans une réaction chimique d'ordre zéro, la concentration d'un réactif diminue linéairement avec le temps. Cela correspond à une suite arithmétique de raison négative. Le graphique concentration-temps est une droite décroissante.
Erreurs courantes
Pièges à éviter
- Confondre la suite avec une fonction continue
- Ne pas vérifier l'alignement des points
- Calculer la pente avec des points non consécutifs
- Ne pas tenir compte de l'échelle des axes
- Vérifier que les points sont alignés
- Calculer la différence entre termes consécutifs
- Identifier clairement les axes et leur unité
- Relire la formulation du problème
Exercice 1
Exercice d'application
On observe la température d'un corps chauffé. La température suit une suite arithmétique. Initialement, la température est de 20°C. Après 1 heure, elle est de 25°C. Tracez la représentation graphique de cette suite et déterminez la température après 4 heures.
Solution exercice 1
Correction détaillée
On a u0 = 20 et u1 = 25. La raison est : r = u1 - u0 = 25 - 20 = 5°C/h. Le modèle est : un = 20 + 5n. La température augmente de 5°C chaque heure.
Après 4 heures, la température sera de 40°C. Sur le graphique, on lit l'ordonnée du point d'abscisse 4.
Exercice 2
Deuxième exercice
Le graphique ci-dessous montre la production d'une usine en fonction du temps (en jours). La suite est arithmétique. Déterminez le premier terme et la raison de cette suite, puis calculez la production au 7e jour.
Solution exercice 2
Correction détaillée
Sur le graphique, on lit que u0 = 100 (ordonnée du point d'abscisse 0). C'est la production initiale de l'usine.
On lit que u1 = 120. Donc la raison est : r = u1 - u0 = 120 - 100 = 20 unités/jour. La production augmente de 20 unités chaque jour.
Au 7e jour, la production sera de 240 unités. Sur le graphique, on lit l'ordonnée du point d'abscisse 7.
Résumé
Points clés
- Les points (n, un) sont alignés sur une droite
- La pente de la droite est la raison r
- L'ordonnée à l'origine est le premier terme u0
- La droite est croissante si r > 0, décroissante si r < 0
- La raison r se calcule comme la pente de la droite
- Le premier terme u0 est l'ordonnée à l'origine
- On peut prédire des valeurs en lisant sur le graphique
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences