Suite arithmétique : uₙ = u₀ + nr, avec u₀ = 2 et r = 3.
Calculer les premiers termes, tracer les points (n, uₙ), et identifier la droite passant par ces points.
u₀ = 2, u₁ = 2+3 = 5, u₂ = 2+6 = 8, u₃ = 2+9 = 11, u₄ = 2+12 = 14
(0,2), (1,5), (2,8), (3,11), (4,14)
L'équation de la droite est y = 3x + 2
Les points sont alignés sur la droite d'équation y = 3x + 2, avec coefficient directeur r = 3.
• Graphique : Les points (n, uₙ) sont alignés sur une droite
• Équation : y = rx + u₀ pour une suite arithmétique
• Interprétation : La pente de la droite est la raison r
Suite arithmétique décroissante : vₙ = v₀ + nr, avec v₀ = 10 et r = -2.
v₀ = 10, v₁ = 10-2 = 8, v₂ = 10-4 = 6, v₃ = 10-6 = 4, v₄ = 10-8 = 2, v₅ = 10-10 = 0
(0,10), (1,8), (2,6), (3,4), (4,2), (5,0)
L'équation de la droite est y = -2x + 10
Les points sont alignés sur la droite d'équation y = -2x + 10, avec coefficient directeur r = -2.
• Décroissance : Lorsque r < 0, la suite est décroissante
• Pente négative : La droite descend de gauche à droite
• Interprétation : La valeur absolue de r indique la pente
Suite arithmétique avec points connus : u₀ = 5 et u₃ = 11.
u₃ = u₀ + 3r, donc 11 = 5 + 3r
3r = 11 - 5 = 6, donc r = 2
y = 2x + 5
La raison est r = 2 et l'équation de la droite est y = 2x + 5.
• Détermination : Utiliser deux points connus pour trouver r
• Calcul : uₙ = u₀ + nr → r = (uₙ - u₀)/n
• Graphique : La droite passe par (0, u₀) et a pour pente r
Suite arithmétique avec deux termes : w₂ = 8 et w₅ = 17.
w₂ = u₀ + 2r = 8 et w₅ = u₀ + 5r = 17
(u₀ + 5r) - (u₀ + 2r) = 17 - 8
3r = 9, donc r = 3
u₀ + 2(3) = 8 → u₀ = 8 - 6 = 2
y = 3x + 2
Le premier terme est u₀ = 2, la raison est r = 3, et l'équation de la droite est y = 3x + 2.
• Système : Deux équations pour deux inconnues (u₀ et r)
• Élimination : Soustraire les équations pour éliminer u₀
• Substitution : Utiliser la valeur trouvée pour r dans une équation
Point de départ et point d'arrivée : La droite passe par (0, 5) et (4, 17).
Le point (0, 5) donne u₀ = 5
r = (17 - 5)/(4 - 0) = 12/4 = 3
y = 3x + 5
L'équation de la droite est y = 3x + 5.
• Lecture graphique : (0, u₀) donne directement u₀
• Pente : r = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Équation : y = rx + u₀
Modèle thermique linéaire : T(0) = 20°C et T(3) = 35°C.
(0, 20) et (3, 35)
r = (35 - 20)/(3 - 0) = 15/3 = 5°C par unité de temps
y = 5x + 20
L'équation de la droite est T(t) = 5t + 20. La température augmente de 5°C par unité de temps.
• Interprétation physique : La pente représente le taux de variation
• Unités : La pente a des unités (ici °C par unité de temps)
• Linéarité : La variation est constante dans le temps
Modèle démographique linéaire : P(0) = 50000 et P(5) = 55000.
(0, 50000) et (5, 55000)
r = (55000 - 50000)/(5 - 0) = 5000/5 = 1000 habitants par an
y = 1000x + 50000
P(10) = 1000(10) + 50000 = 60000 habitants
L'équation de la droite est P(t) = 1000t + 50000. La population sera de 60000 habitants dans 10 ans.
• Prédiction : Utiliser l'équation pour estimer des valeurs futures
• Interprétation : La pente représente l'accroissement annuel
• Modèle linéaire : Hypothèse de croissance constante
Modèle cinématique linéaire : v(0) = 10 m/s et v(4) = 30 m/s.
(0, 10) et (4, 30)
r = (30 - 10)/(4 - 0) = 20/4 = 5 m/s²
y = 5x + 10
L'équation de la droite est v(t) = 5t + 10. L'accélération est de 5 m/s².
• Physique : La pente de la courbe vitesse-temps est l'accélération
• Unités : La pente a des unités de (vitesse)/(temps)
• Linéarité : Accélération constante → vitesse linéaire
Modèle de décharge linéaire : C(0) = 100% et C(5) = 75%.
(0, 100) et (5, 75)
r = (75 - 100)/(5 - 0) = -25/5 = -5% par unité de temps
y = -5x + 100
L'équation de la droite est C(t) = -5t + 100. Le taux de décharge est de 5% par unité de temps.
• Décharge : Pente négative indique une diminution
• Taux : La valeur absolue de la pente est le taux de décharge
• Interprétation : Modèle linéaire de décharge
Modèle économique linéaire : P(0) = 50€ et P(3) = 65€.
(0, 50) et (3, 65)
r = (65 - 50)/(3 - 0) = 15/3 = 5€ par an
y = 5x + 50
P(8) = 5(8) + 50 = 40 + 50 = 90€
L'équation de la droite est P(t) = 5t + 50. Le prix sera de 90€ dans 8 ans.
• Prédiction économique : Utiliser le modèle linéaire pour estimer des prix futurs
• Interprétation : La pente représente l'augmentation annuelle
• Limites : Le modèle linéaire suppose une croissance constante
