Fonction affine : f(t) = at + b avec a taux de variation constant.
f(t) = 50t + 200 où t est le temps en années
b = 200 : c'est la population initiale (à t=0). La ville comptait 200 habitants au départ.
a = 50 : c'est le taux de variation. La population augmente de 50 habitants par an.
Au bout de 5 ans : f(5) = 50×5 + 200 = 450 habitants
Croissance linéaire constante de 50 personnes par an, ce qui correspond à un modèle de développement régulier.
Population initiale : 200 habitants, augmentation de 50 habitants par an. Le modèle prédit une croissance linéaire régulière.
• Paramètre b : Valeur initiale (ordonnée à l'origine)
• Paramètre a : Taux de variation (pente de la droite)
• Interprétation : a > 0 ⇒ croissance, a < 0 ⇒ décroissance
Fonction exponentielle : g(t) = a·e^(kt) avec a > 0 et k taux de croissance.
g(t) = 1000·e^(0.05t) où t est le temps en heures
a = 1000 : c'est la quantité initiale. La culture commence avec 1000 bactéries.
k = 0.05 : c'est le taux de croissance relatif. La population croît de 5% par heure.
Au bout de 4h : g(4) = 1000·e^(0.05×4) = 1000·e^0.2 ≈ 1221 bactéries
Croissance exponentielle de 5% par heure, ce qui signifie que la population double environ tous les 14h.
Quantité initiale : 1000 bactéries, taux de croissance de 5% par heure. La population suit une croissance exponentielle.
• Paramètre a : Valeur initiale (à t=0)
• Paramètre k : Taux de croissance relatif (en % par unité de temps)
• Interprétation : k > 0 ⇒ croissance, k < 0 ⇒ décroissance
Modèles linéaire et exponentiel : h₁(t) = 30t + 150 et h₂(t) = 150·e^(0.2t)
h₁(t) = 30t + 150 : a = 30, b = 150
Valeur initiale : 150, augmentation de 30 unités par période
h₂(t) = 150·e^(0.2t) : a = 150, k = 0.2
Valeur initiale : 150, taux de croissance de 20% par période
Les deux modèles commencent à la même valeur : 150
Au bout de 1 période : h₁(1) = 180, h₂(1) = 150·e^0.2 ≈ 183.2
Au bout de 10 périodes : h₁(10) = 450, h₂(10) = 150·e^2 ≈ 1108.3
À court terme, les modèles sont similaires, mais à long terme, le modèle exponentiel dépasse largement le modèle linéaire.
• Modèle linéaire : Croissance constante (+30 unités par période)
• Modèle exponentiel : Croissance proportionnelle (×1.22 par période)
• Comparaison : Le modèle exponentiel finit par surpasser le linéaire
Intérêts composés : C(t) = C₀·e^(rt) avec r taux d'intérêt continu.
C(t) = 1000·e^(0.03t) où t est le temps en années
a = 1000 : c'est le capital initial placé. Le placement commence avec 1000€.
k = 0.03 : c'est le taux d'intérêt nominal annuel. Le capital croît de 3% par an.
C(5) = 1000·e^(0.03×5) = 1000·e^0.15 ≈ 1161.83€
Le placement rapporte environ 161.83€ d'intérêts sur 5 ans grâce à la capitalisation continue.
Capital initial : 1000€, taux d'intérêt de 3% par an. Le placement suit une croissance exponentielle.
• Paramètre a : Capital initial (valeur à t=0)
• Paramètre k : Taux d'intérêt nominal (en décimal)
• Avantage : La capitalisation continue maximise le rendement
Refroidissement linéaire : T(t) = at + b avec a < 0 pour une baisse.
T(t) = -2t + 25 où t est le temps en heures
b = 25 : c'est la température initiale. La pièce était initialement à 25°C.
a = -2 : c'est le taux de variation. La température diminue de 2°C par heure.
T(3) = -2×3 + 25 = 19°C
Modèle de refroidissement linéaire constant, ce qui est simplifié mais utile pour des durées courtes.
Température initiale : 25°C, diminution de 2°C par heure. La pièce refroidit linéairement.
• Paramètre b : Valeur initiale (température à t=0)
• Paramètre a : Taux de variation (négatif pour une baisse)
• Limitation : Ce modèle est valide pour des durées limitées
Décroissance exponentielle : N(t) = N₀·e^(-λt) avec λ constante radioactive.
N(t) = 500·e^(-0.1t) où t est le temps en jours
a = 500 : c'est la quantité initiale. Il y avait 500 atomes radioactifs au début.
k = -0.1 : c'est le taux de désintégration. La quantité diminue de 10% par jour.
Demi-vie = ln(2)/λ = ln(2)/0.1 ≈ 6.93 jours
N(10) = 500·e^(-0.1×10) = 500·e^(-1) ≈ 183.9 atomes
Quantité initiale : 500 atomes, taux de désintégration de 10% par jour. Demi-vie d'environ 6.93 jours.
• Paramètre a : Quantité initiale (à t=0)
• Paramètre k : Taux de décroissance (négatif pour une diminution)
• Demi-vie : Temps pour que la quantité soit divisée par 2
Mouvement uniformément varié : v(t) = at + v₀ avec a accélération constante.
v(t) = 60t + 20 où t est le temps en heures et v en km/h
b = 20 : c'est la vitesse initiale. Le véhicule roule à 20 km/h au départ.
a = 60 : c'est l'accélération. La vitesse augmente de 60 km/h par heure.
v(0.5) = 60×0.5 + 20 = 50 km/h
Le véhicule accélère uniformément à raison de 60 km/h par heure à partir de 20 km/h.
Vitesse initiale : 20 km/h, accélération de 60 km/h par heure. Le mouvement est uniformément accéléré.
• Paramètre b : Vitesse initiale (à t=0)
• Paramètre a : Accélération constante (en unité de vitesse par unité de temps)
• Unités : Attention à l'homogénéité des unités
Croissance exponentielle : M(t) = M₀·e^(kt) avec k taux de croissance relatif.
M(t) = 50·e^(0.02t) où t est le temps en mois et M en grammes
a = 50 : c'est la masse initiale. La substance pèse 50g au départ.
k = 0.02 : c'est le taux de croissance relatif. La masse augmente de 2% par mois.
M(6) = 50·e^(0.02×6) = 50·e^0.12 ≈ 56.37g
Pour doubler : 2 = e^(0.02t), donc t = ln(2)/0.02 ≈ 34.66 mois
Masse initiale : 50g, taux de croissance de 2% par mois. La masse double environ tous les 34.66 mois.
• Paramètre a : Masse initiale (à t=0)
• Paramètre k : Taux de croissance relatif (en % par unité de temps)
• Temps de doublement : ln(2)/k pour une croissance exponentielle
Modèle quadratique : P(t) = at² + bt + c avec a < 0 pour une limite.
P(t) = 1000 + 50t - 0.5t² où t est le temps en années
c = 1000 : c'est la population initiale. L'espèce commence avec 1000 individus.
b = 50 : c'est le taux initial de croissance. La population augmente initialement de 50 individus/an.
a = -0.5 : c'est le taux de ralentissement. La croissance diminue de 0.5 individus/an².
Maximum en t = -b/(2a) = -50/(-1) = 50 ans. P(50) = 1000 + 50×50 - 0.5×2500 = 2250 individus
Population initiale : 1000, croissance initiale de 50/an, ralentissement de 0.5/an². Maximum de 2250 individus après 50 ans.
• Terme constant : Valeur initiale (à t=0)
• Coefficient de t : Taux de croissance initial
• Coefficient de t² : Taux de changement de la croissance
Taux de croissance comparés : Comparer différents modèles exponentiels.
f₁(t) = 100·e^(0.03t), f₂(t) = 100·e^(0.05t), f₃(t) = 100·e^(0.01t)
k₁ = 0.03 (3%/an), k₂ = 0.05 (5%/an), k₃ = 0.01 (1%/an)
f₁(10) = 100·e^0.3 ≈ 135, f₂(10) = 100·e^0.5 ≈ 165, f₃(10) = 100·e^0.1 ≈ 110
t₁ = ln(2)/0.03 ≈ 23.1 ans, t₂ = ln(2)/0.05 ≈ 13.9 ans, t₃ = ln(2)/0.01 ≈ 69.3 ans
Plus le taux k est élevé, plus la croissance est rapide et le doublement court.
Le modèle avec k=0.05 croît le plus rapidement (doublement en 13.9 ans), suivi de k=0.03 (23.1 ans) et k=0.01 (69.3 ans).
• Paramètre k : Plus k est grand, plus la croissance est rapide
• Temps de doublement : Inversement proportionnel à k
• Comparaison : Même valeur initiale permet une comparaison directe
