La population d'une ville augmente de manière régulière de 500 habitants par an.
Observation : La population augmente de manière constante chaque année
Évolution constante ⇒ Modèle affine : f(t) = at + b
a = 500 (croissance annuelle), b = 10000 (population initiale en 2020)
f(t) = 500t + 10000, où t est le nombre d'années depuis 2020
En 2030 (t=10) : f(10) = 500×10 + 10000 = 15000 habitants
Le modèle affine f(t) = 500t + 10000 prédit une croissance linéaire de la population.
• Évolution constante : Modèle affine f(t) = at + b
• Paramètre a : Taux de variation (pente)
• Paramètre b : Valeur initiale (ordonnée à l'origine)
Une culture bactérienne double toutes les 3 heures. Initialement, il y a 100 bactéries.
Observation : La population double périodiquement ⇒ croissance exponentielle
Croissance proportionnelle à la quantité ⇒ Modèle exponentiel : g(t) = a·e^(kt)
a = 100 (quantité initiale), k = ln(2)/3 ≈ 0.231 (taux de croissance)
g(t) = 100·e^(0.231t), où t est le temps en heures
Après 12h : g(12) = 100·e^(0.231×12) = 100·e^2.772 ≈ 1600 bactéries
Le modèle exponentiel g(t) = 100·e^(0.231t) prédit une croissance exponentielle de la population.
• Doublement périodique : g(t) = a·e^(kt) avec k = ln(2)/période
• Paramètre a : Quantité initiale
• Paramètre k : Taux de croissance relatif
Un objet chaud refroidit selon la loi de Newton : T(t) = T∞ + (T₀-T∞)·e^(-kt).
Observation : Température tend vers la température ambiante de manière exponentielle
Loi de refroidissement de Newton ⇒ Modèle exponentiel
T₀ = 100°C (température initiale), T∞ = 20°C (température ambiante), k = 0.1
T(t) = 20 + 80·e^(-0.1t), où t est le temps en minutes
Après 10 min : T(10) = 20 + 80·e^(-1) ≈ 20 + 80·0.368 ≈ 49.4°C
Le modèle T(t) = 20 + 80·e^(-0.1t) prédit le refroidissement exponentiel de l'objet.
• Loi de Newton : T(t) = T∞ + (T₀-T∞)·e^(-kt)
• Constante k : Dépend des propriétés thermiques du système
• Comportement asymptotique : T(t) → T∞ quand t → ∞
Un capital de 1000€ est placé à intérêts composés au taux annuel de 3%.
Observation : Le capital augmente proportionnellement à lui-même ⇒ croissance exponentielle
Intérêts composés ⇒ Modèle exponentiel : C(t) = C₀·e^(rt)
C₀ = 1000€ (capital initial), r = 0.03 (taux annuel)
C(t) = 1000·e^(0.03t), où t est le temps en années
Après 10 ans : C(10) = 1000·e^(0.3) ≈ 1000·1.3499 ≈ 1349.90€
Le modèle C(t) = 1000·e^(0.03t) prédit la croissance exponentielle du capital.
• Intérêts composés : C(t) = C₀·e^(rt)
• Paramètre C₀ : Capital initial
• Paramètre r : Taux d'intérêt annuel (en décimal)
Deux populations évoluent selon f(t) = 1000 + 50t et g(t) = 1000·e^(0.04t).
Modèle 1 : f(t) = 1000 + 50t (linéaire), Modèle 2 : g(t) = 1000·e^(0.04t) (exponentiel)
Les deux modèles partent de 1000 ⇒ f(0) = g(0) = 1000
Au bout de 5 ans : f(5) = 1250, g(5) = 1000·e^0.2 ≈ 1221
Au bout de 20 ans : f(20) = 2000, g(20) = 1000·e^0.8 ≈ 2226
À long terme, le modèle exponentiel dépasse le modèle linéaire malgré un départ plus lent
Le modèle exponentiel finit par surpasser le modèle linéaire malgré un départ plus lent.
• Modèle linéaire : Croissance constante (+50 unités par an)
• Modèle exponentiel : Croissance proportionnelle (×1.04 par an)
• Comparaison : Le modèle exponentiel domine à long terme
Une substance radioactive a une demi-vie de 5 ans. Initialement, il y a 100g de matière.
Observation : La quantité diminue de moitié à intervalles réguliers ⇒ décroissance exponentielle
Demi-vie constante ⇒ Modèle exponentiel : N(t) = N₀·e^(-λt)
λ = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/5 ≈ 0.139
N(t) = 100·e^(-0.139t), où t est le temps en années
Après 10 ans : N(10) = 100·e^(-1.39) ≈ 100·0.25 ≈ 25g
Le modèle N(t) = 100·e^(-0.139t) prédit la décroissance exponentielle de la matière radioactive.
• Demi-vie : t₁/₂ = ln(2)/λ
• Constante radioactive : λ = ln(2)/t₁/₂
• Modèle de décroissance : N(t) = N₀·e^(-λt)
Un véhicule accélère uniformément de 0 à 100 km/h en 10 secondes.
Observation : La vitesse augmente de manière constante ⇒ mouvement uniformément varié
Accélération constante ⇒ Modèle affine : v(t) = at + v₀
a = (100 - 0)/10 = 10 km/h/s
v(t) = 10t, où t est le temps en secondes et v en km/h
Après 5 secondes : v(5) = 10×5 = 50 km/h
Le modèle v(t) = 10t prédit l'accélération linéaire du véhicule.
• Mouvement uniformément varié : v(t) = at + v₀
• Paramètre a : Accélération constante
• Paramètre v₀ : Vitesse initiale
La population mondiale croît de 1.1% par an. En 2020, elle était de 7.8 milliards.
Observation : La croissance est proportionnelle à la population ⇒ modèle exponentiel
Croissance proportionnelle ⇒ Modèle exponentiel : P(t) = P₀·e^(kt)
k = 1.1% = 0.011 par an
P(t) = 7.8·e^(0.011t), où t est le nombre d'années depuis 2020
En 2030 (t=10) : P(10) = 7.8·e^(0.11) ≈ 7.8·1.116 ≈ 8.7 milliards
Le modèle P(t) = 7.8·e^(0.011t) prédit la croissance exponentielle de la population.
• Taux de croissance : Convertir en décimal (1.1% = 0.011)
• Modèle exponentiel : P(t) = P₀·e^(kt)
• Interprétation : k représente le taux de croissance relatif
Un article coûte 100€ en 2020 et son prix augmente de 2€ chaque année.
Observation : Le prix augmente de manière constante ⇒ modèle linéaire
Augmentation constante ⇒ Modèle affine : P(t) = at + b
a = 2 (augmentation annuelle), b = 100 (prix initial)
P(t) = 2t + 100, où t est le nombre d'années depuis 2020
En 2025 (t=5) : P(5) = 2×5 + 100 = 110€
Le modèle P(t) = 2t + 100 prédit l'augmentation linéaire du prix de l'article.
• Évolution constante : Modèle affine P(t) = at + b
• Paramètre a : Taux de variation (pente)
• Paramètre b : Valeur initiale
Comparer la validité des modèles exponentiels et linéaires pour différentes situations.
Modèle linéaire : croissance constante, Modèle exponentiel : croissance proportionnelle
Modèle linéaire : valable tant que les conditions restent constantes
Modèle exponentiel : non valable indéfiniment (ressources limitées)
Comparer les prédictions avec les données réelles pour valider le modèle
Choisir le modèle qui correspond le mieux au mécanisme sous-jacent du phénomène
Le choix du modèle dépend du mécanisme physique ou biologique sous-jacent au phénomène.
• Modèle linéaire : Pour croissances additives constantes
• Modèle exponentiel : Pour croissances multiplicatives constantes
• Validation : Comparer les prédictions avec les observations
