Méthode 1 : Convertir en fraction
0,75 = 75/100 = 3/4
Méthode 2 : Convertir en décimal
3/4 = 0,75
Donc 3/4 = 0,75
3/4 = 0,75
Pour comparer deux nombres, on peut :
- Calculer leur différence et étudier son signe
- Les convertir dans le même format (décimal ou fraction)
- Utiliser une approximation
Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de b - a :
- Si b - a > 0, alors a < b
- Si b - a = 0, alors a = b
- Si b - a < 0, alors a > b
Sachant que 1,4² = 1,96 et (√2)² = 2
Comme 1,96 < 2, on a 1,4² < (√2)²
Comme 1,4 > 0 et √2 > 0, on obtient 1,4 < √2
Pour l'encadrement à 0,1 près :
1,4² = 1,96 et 1,5² = 2,25
Donc 1,4 < √2 < 1,5
√2 > 1,4 et 1,4 < √2 < 1,5
Un encadrement d'amplitude e d'un nombre x est une double inégalité a ≤ x ≤ b où b - a = e.
Pour comparer des nombres irrationnels, on peut comparer leurs carrés (si positifs) ou utiliser des approximations décimales.
Si a < b, alors :
a + 3 < b + 3 (ajout de 3 à chaque membre)
a - 2 < b - 2 (soustraction de 2 à chaque membre)
Cela découle de la compatibilité de l'ordre avec l'addition.
a + 3 < b + 3 et a - 2 < b - 2
L'addition conserve l'ordre : si a < b, alors a + c < b + c pour tout c ∈ ℝ.
Sur la droite graduée, ajouter un même nombre revient à effectuer une translation, qui préserve l'ordre.
Sur la droite graduée, -5 est à gauche de -3
Donc -5 < -3
Autrement dit, -3 est le plus grand
On peut aussi calculer : (-3) - (-5) = -3 + 5 = 2 > 0
-3 est plus grand que -5
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (valeur absolue).
On sait que π ≈ 3,14159...
Donc 3,14 < π < 3,15
Sur la droite graduée, π est entre 3,14 et 3,15
Plus précisément : 3,141 < π < 3,142
3,14 < π < 3,15
π est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.
Pour encadrer un nombre irrationnel, on utilise des approximations décimales successives.
Si a < b et c > 0, alors ac < bc
Preuve : a < b ⇒ b - a > 0
c > 0 ⇒ c(b - a) > 0 ⇒ cb - ca > 0 ⇒ bc > ac
Si c < 0, alors ac > bc (multiplication par un négatif inverse l'ordre)
Si c > 0 : ac < bc ; Si c < 0 : ac > bc
La multiplication par un nombre positif conserve l'ordre, par un nombre négatif l'inverse.
Lorsque vous résolvez une inéquation et que vous multipliez ou divisez par un nombre, vérifiez toujours son signe !
On suppose 1 ≤ x ≤ 2
Comme la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[, et que [1 ; 2] ⊂ [0 ; +∞[, on a :
1² ≤ x² ≤ 2²
Donc 1 ≤ x² ≤ 4
1 ≤ x² ≤ 4
Si f est croissante sur [a ; b] et que m ≤ x ≤ M avec m, M ∈ [a ; b], alors f(m) ≤ f(x) ≤ f(M).
Une fonction f est croissante sur I si pour tous x₁, x₂ ∈ I, x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
Soit 0 < a < b
Alors 1/a > 1/b
Preuve : 1/a - 1/b = (b-a)/(ab)
Comme a > 0, b > 0 et b > a, on a :
b - a > 0 et ab > 0
Donc (b-a)/(ab) > 0, soit 1/a > 1/b
1/a > 1/b
La fonction inverse x ↦ 1/x est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ et sur ]-∞ ; 0[.
2x + 3 < 7
2x < 7 - 3
2x < 4
x < 2
Donc x ∈ ]-∞ ; 2[
x < 2, soit x ∈ ]-∞ ; 2[
Pour résoudre une inéquation :
- Isoler l'inconnue
- Effectuer des opérations qui conservent l'ordre
- Attention au signe lors de la multiplication/division
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation sans changer le sens.
L'ordre sur ℝ est compatible avec l'addition :
Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tout c ∈ ℝ
Et avec la multiplication par un nombre positif :
Si a ≤ b et c ≥ 0, alors ac ≤ bc
Ces propriétés découlent de la structure d'anneau ordonné de (ℝ, +, ×, ≤)
L'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre positif.
(ℝ, +, ×, ≤) est un corps totalement ordonné, ce qui signifie que l'ordre est compatible avec les opérations.
Cette compatibilité permet de manipuler les inégalités comme les équations, à condition de respecter les règles concernant la multiplication par un nombre négatif.
