Trajectoire rectiligne : Chemin suivant une droite.
- Observer la trajectoire (ici une droite)
- Déterminer la direction du vecteur (identique à celle de la droite)
- Déterminer le sens du mouvement (du point initial vers le point final)
Le mobile se déplace sur une droite. On cherche la direction et le sens du vecteur vitesse.
Sur une trajectoire rectiligne, la direction du vecteur vitesse est constante
Elle est identique à la direction de la droite
Le sens dépend du mouvement du mobile
S'il se déplace de gauche à droite, le sens est positif
La direction ne change jamais sur une trajectoire rectiligne
Le sens peut changer si le mobile inverse son mouvement
Sur une trajectoire rectiligne, la direction du vecteur vitesse est constante et égale à celle de la droite. Le sens est celui du mouvement.
• Direction tangente : Sur une droite, la tangente est la droite elle-même
• Sens du mouvement : Dépend de la progression du mobile
• Constante : La direction est invariable sur une trajectoire rectiligne
Trajectoire circulaire : Mouvement sur un cercle de rayon constant.
Un mobile suit une trajectoire circulaire. On cherche la direction du vecteur vitesse.
La direction du vecteur vitesse est tangente au cercle au point considéré
Elle est perpendiculaire au rayon du cercle
Le vecteur vitesse est tangent au cercle
Il est perpendiculaire au rayon au point de contact
La direction change continuellement pendant le mouvement
Elle est toujours tangente à la trajectoire
Sur une trajectoire circulaire, le vecteur vitesse est tangent au cercle au point considéré et perpendiculaire au rayon.
• Direction tangente : Perpendiculaire au rayon au point de contact
• Continuité : Le vecteur vitesse varie continuellement en direction
• Perpendicularité : \(\vec{v} \perp\) rayon du cercle
Trajectoire sinusoïdale : Chemin décrit par une fonction sinusoïdale.
On étudie un mobile sur une trajectoire sinusoïdale. On cherche le sens du vecteur vitesse.
Le sens du vecteur vitesse est toujours dans le sens du mouvement
Il dépend de la progression temporelle du mobile
À chaque point, on observe le déplacement infinitésimal
Le sens est celui du déplacement suivant
Le sens peut varier selon la portion de la courbe
Il est toujours cohérent avec la progression temporelle
Sur une trajectoire sinusoïdale, le sens du vecteur vitesse est toujours dans le sens du mouvement du mobile.
• Sens du mouvement : Celui de la progression temporelle
• Localité : Le sens est déterminé point par point
• Continuité : Le sens varie progressivement
Direction d'un vecteur : Ligne droite support du vecteur.
On veut représenter graphiquement la direction d'un vecteur vitesse.
La direction est la droite portant le vecteur
Elle passe par le point d'application
On trace une droite passant par le point d'application
Elle a la même pente que le vecteur vitesse
On peut utiliser une double flèche pour montrer la direction
La direction est indépendante du sens
La direction d'un vecteur vitesse est représentée par la droite passant par le point d'application et portant le vecteur.
• Droite support : Passe par le point d'application
• Indépendance : La direction est indépendante du sens
• Représentation : Peut être indiquée par une droite ou double flèche
Direction variable : La direction change le long d'une courbe.
On compare la direction des vecteurs vitesses à différents points d'une courbe.
À chaque point, on trace la tangente à la courbe
La direction du vecteur est celle de la tangente
Les directions sont différentes à chaque point
Elles changent progressivement le long de la courbe
Plus la courbe est prononcée, plus la direction change rapidement
Sur une droite, la direction est constante
Sur une courbe, la direction du vecteur vitesse change continuellement et est toujours tangente à la trajectoire.
• Changement continu : La direction varie le long de la courbe
• Tangence : La direction est toujours tangente à la trajectoire
• Variation : Dépend de la courbure de la trajectoire
Équation de trajectoire : Relation entre les coordonnées x et y du point mobile.
On connaît l'équation de la trajectoire, on cherche la direction du vecteur vitesse.
Soit y = x² (parabole)
\(\frac{dy}{dx} = 2x\)
Cela donne la pente de la tangente
À x = 1, la pente est 2
Donc la direction du vecteur vitesse a un coefficient directeur de 2
\(\theta = \arctan(2) ≈ 63.4°\)
La direction du vecteur vitesse est déterminée par la dérivée de l'équation de la trajectoire.
• Dérivation : \(\frac{dy}{dx}\) donne la pente de la tangente
• Direction tangente : La direction est celle de la tangente
• Angle : \(\theta = \arctan(\text{pente})\)
Composantes cartésiennes : \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\)
On connaît les composantes du vecteur vitesse, on cherche sa direction.
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) m/s
\(\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)
\(\theta ≈ 53.1°\)
\(\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix}\)
Le vecteur unitaire a la même direction que le vecteur original
La direction du vecteur vitesse est déterminée par l'angle \(\theta = \arctan(v_y/v_x)\).
• Angle de direction : \(\theta = \arctan(v_y/v_x)\)
• Composantes : Le rapport des composantes détermine la direction
• Unitaire : Le vecteur unitaire conserve la direction
Changement de direction : Inversion du sens du mouvement à un moment donné.
On étudie un mobile qui change de direction. On cherche le sens du vecteur vitesse.
Le mobile avance dans un sens, puis change de direction
Le sens du vecteur vitesse change à ce moment-là
Avant le changement : sens positif
Après le changement : sens négatif (inversé)
La direction peut rester la même mais le sens change
Le vecteur vitesse change de signe
Quand un mobile change de direction, le sens du vecteur vitesse s'inverse.
• Inversion : Le sens change quand le mouvement s'inverse
• Direction : Peut rester la même malgré le changement de sens
• Signe : Le vecteur change de signe lors de l'inversion
Trajectoire en forme de huit : Chemin ressemblant à la figure 8.
On étudie un mobile sur une trajectoire en forme de huit. On cherche direction et sens.
Deux boucles formant une figure de huit
Le mobile peut passer du haut vers le bas ou inversement
Sur chaque boucle, la direction est tangente à la courbe
Elle change continuellement comme sur une trajectoire circulaire
Le sens est toujours dans la direction du mouvement
Il peut être horaire ou anti-horaire sur chaque boucle
Au point de croisement, le mobile change de boucle
La direction change brutalement
Sur une trajectoire en forme de huit, la direction est tangente à la courbe et le sens suit le mouvement.
• Tangence : La direction est toujours tangente à la trajectoire
• Sens : Suit la progression du mobile
• Transition : La direction peut changer brutalement aux points singuliers
Vitesse instantanée : \(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
On connaît la position en fonction du temps, on cherche direction et sens instantanés.
\(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos(t) \\ 2\sin(t) \end{pmatrix}\)
\(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \begin{pmatrix} -2\sin(t) \\ 2\cos(t) \end{pmatrix}\)
À t = π/4 : \(\vec{v}(\pi/4) = \begin{pmatrix} -2\sin(\pi/4) \\ 2\cos(\pi/4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}\)
Le sens est déterminé par les signes des composantes
Ici, la composante x est négative et y est positive
La direction et le sens instantanés sont déterminés par le vecteur vitesse à l'instant t.
• Dérivation : \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
• Direction : Déterminée par le rapport des composantes
• Sens : Dépend des signes des composantes
