Vecteur vitesse : Grandeur vectorielle qui caractérise la variation de position d'un point mobile.
- Choisir le point d'application (position du mobile à l'instant t)
- Déterminer la direction (tangente à la trajectoire)
- Déterminer le sens (celui du mouvement)
- Calculer la norme (valeur de la vitesse)
- Utiliser une échelle pour tracer la flèche
Mobile se déplace à 5 m/s sur une trajectoire rectiligne. On veut représenter le vecteur vitesse.
Point d'application : position du mobile à l'instant t
Direction : droite de la trajectoire rectiligne
Sens : dans le sens du mouvement
Norme : 5 m/s
Échelle : 1 cm → 1 m/s
Donc 5 m/s → 5 cm
On place une flèche de 5 cm dans le sens du mouvement
Le vecteur vitesse est une flèche de 5 cm dans le sens du mouvement, placée au point d'application.
• Point d'application : Position du mobile à l'instant t
• Direction : Tangente à la trajectoire (ici la droite elle-même)
• Sens : Celui du mouvement
• Norme : Égale à la valeur de la vitesse
Vitesse moyenne : \(\|\vec{v}\| = \frac{d(M_1,M_2)}{\Delta t}\)
On connaît deux positions M₁ et M₂ d'un point mobile et l'intervalle de temps Δt.
Soit M₁(2,1) et M₂(5,5) en mètres
d(M₁,M₂) = √[(5-2)² + (5-1)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 m
Δt = t₂ - t₁ = 4 - 1 = 3 s
\(\|\vec{v}\| = \frac{5}{3} ≈ 1.67\) m/s
La norme du vecteur vitesse est de 1.67 m/s.
• Distance euclidienne : \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
• Vitesse moyenne : Rapport de la distance parcourue sur la durée
• Unité : mètre par seconde (m/s)
Trajectoire circulaire : Mouvement sur un cercle de rayon constant.
Un mobile suit une trajectoire circulaire. On cherche la direction et le sens du vecteur vitesse.
La direction du vecteur vitesse est tangente au cercle au point considéré
Elle est perpendiculaire au rayon du cercle
Le sens est celui du mouvement du mobile
Il dépend du sens de rotation (horaire ou anti-horaire)
Le vecteur vitesse change continuellement de direction
Mais il reste tangent à la trajectoire
Sur une trajectoire circulaire, le vecteur vitesse est tangent au cercle au point considéré et son sens est celui du mouvement.
• Direction tangente : Perpendiculaire au rayon au point de contact
• Sens du mouvement : Dépend du sens de rotation
• Continuité : Le vecteur vitesse varie continuellement en direction
Composantes cartésiennes : \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\)
On connaît la position d'un point mobile en fonction du temps. On cherche les composantes du vecteur vitesse.
Soit x(t) = 2t + 1 et y(t) = t² - 3
\(v_x = \frac{dx}{dt} = 2\)
\(v_y = \frac{dy}{dt} = 2t\)
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2t \end{pmatrix}\)
À t = 2 s : \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Les composantes du vecteur vitesse sont \(v_x = 2\) m/s et \(v_y = 2t\) m/s.
• Dérivation : \(v_x = \frac{dx}{dt}\) et \(v_y = \frac{dy}{dt}\)
• Composantes : Les dérivées des coordonnées spatiales
• Instantanéité : Le vecteur dépend de l'instant considéré
Comparaison vectorielle : Analyse des variations de direction, sens et norme.
On compare les vecteurs vitesses de deux mobiles à des instants différents.
\(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) m/s
\(\|\vec{v_1}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) m/s
\(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) m/s
\(\|\vec{v_2}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} ≈ 2.24\) m/s
Le premier mobile est plus rapide (5 m/s vs 2.24 m/s)
Les directions sont différentes
Le second a une composante négative en x
Le premier mobile a une vitesse supérieure et une direction différente du second mobile.
• Norme : \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)
• Direction : Dépend des rapports des composantes
• Comparaison : Analyse des valeurs et des orientations
Vitesse instantanée : \(\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
On connaît la position en fonction du temps, on cherche la vitesse instantanée.
\(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t^2 \\ 2t + 1 \end{pmatrix}\)
\(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 6t\)
\(v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 2\)
\(\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 6t \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{v}(2) = \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix}\) m/s
\(\|\vec{v}(2)\| = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{148} ≈ 12.17\) m/s
Le vecteur vitesse instantanée à t = 2 s est \(\vec{v}(2) = \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix}\) m/s.
• Dérivation temporelle : \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
• Composantes : Dérivées des coordonnées spatiales
• Instantanéité : Valeur dépendante de l'instant t
Échelle de représentation : Lien entre la grandeur physique et sa représentation graphique.
On doit représenter un vecteur vitesse de 8 m/s avec une échelle de 1 cm → 2 m/s.
Vitesse = 8 m/s
Échelle : 1 cm → 2 m/s
Longueur de la flèche = 8 ÷ 2 = 4 cm
Soit un angle de 30° par rapport à l'horizontale
On trace une flèche de 4 cm dans la direction indiquée
On ajoute une légende avec l'échelle utilisée
Le vecteur vitesse est représenté par une flèche de 4 cm dans la direction indiquée.
• Proportionnalité : Longueur = (valeur réelle) ÷ (valeur par unité graphique)
• Direction : Respecter l'orientation angulaire
• Légende : Toujours indiquer l'échelle utilisée
Variation de vitesse : \(\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}\)
On connaît les vecteurs vitesses à deux instants différents, on cherche leur variation.
\(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) m/s
\(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}\) m/s
\(\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 7-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) m/s
\(\|\Delta \vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ≈ 3.61\) m/s
La variation du vecteur vitesse est \(\Delta \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) m/s.
• Soustraction vectorielle : On soustrait les composantes
• Composantes : \(\Delta v_x = v_{2x} - v_{1x}\) et \(\Delta v_y = v_{2y} - v_{1y}\)
• Norme : \(\|\Delta \vec{v}\| = \sqrt{(\Delta v_x)^2 + (\Delta v_y)^2}\)
Trajectoire curviligne : Chemin non rectiligne suivi par un mobile.
On étudie un mobile sur une trajectoire curviligne, on cherche les caractéristiques du vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire
Sa direction change en permanence
Le sens est toujours dans le sens du mouvement
La norme peut varier selon que le mouvement est accéléré ou ralenti
Le vecteur vitesse change continuellement de direction
Même si la vitesse est constante en norme, il y a une accélération
Sur une trajectoire curviligne, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et son orientation change continuellement.
• Direction tangente : Le vecteur est toujours tangent à la trajectoire
• Continuité : La direction varie continuellement
• Accélération : Même à vitesse constante, il y a changement de direction
Vitesse moyenne : \(\vec{v}_{moy} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\)
Vitesse instantanée : \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
On compare la vitesse moyenne et la vitesse instantanée sur un mouvement.
Position initiale : M₁(1,2) à t₁ = 0 s
Position finale : M₂(7,6) à t₂ = 4 s
Position à t = 2 s : M(4,4)
\(\vec{v}_{moy} = \frac{\vec{r_2} - \vec{r_1}}{t_2 - t_1} = \frac{\begin{pmatrix} 7-1 \\ 6-2 \end{pmatrix}}{4-0} = \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} 1.5 \\ 1 \end{pmatrix}\) m/s
Soit \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1.5t^2 + 1 \\ t^2 + 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 3t \\ 2t \end{pmatrix}\)
À t = 2 s : \(\vec{v}(2) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\) m/s
Vitesse moyenne : \(\begin{pmatrix} 1.5 \\ 1 \end{pmatrix}\) m/s
Vitesse instantanée à t=2 : \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\) m/s
La vitesse instantanée diffère de la vitesse moyenne car le mouvement n'est pas uniforme.
• Vitesse moyenne : Rapport du déplacement total sur la durée totale
• Vitesse instantanée : Dérivée de la position par rapport au temps
• Uniformité : Seulement égales si le mouvement est uniforme
