Modélisation : Processus qui consiste à représenter un phénomène réel à l'aide d'un modèle mathématique.
- Lire attentivement l'énoncé
- Identifier les variables et les constantes
- Établir les relations entre les variables
- Choisir la variable indépendante
- Exprimer la grandeur recherchée en fonction de cette variable
- Déterminer le domaine de définition
- Interpréter les résultats
Soit \(x\) la longueur d'un côté du rectangle (en cm)
Soit \(y\) la longueur de l'autre côté (en cm)
On connaît le périmètre : \(P = 20\) cm
Périmètre d'un rectangle : \(P = 2x + 2y\)
Donc : \(20 = 2x + 2y\)
D'où : \(2y = 20 - 2x\)
Soit : \(y = 10 - x\)
Aire du rectangle : \(A = x \times y\)
Donc : \(A = x \times (10 - x)\)
\(A = 10x - x^2\)
Pour que le rectangle existe, il faut : \(x > 0\) et \(y > 0\)
Donc : \(x > 0\) et \(10 - x > 0\)
Soit : \(x > 0\) et \(x < 10\)
Donc : \(x \in ]0, 10[\)
La fonction qui exprime l'aire en fonction de la longueur d'un côté est :
\(f(x) = 10x - x^2\) avec \(x \in ]0, 10[\)
L'aire du rectangle s'exprime par la fonction \(f(x) = 10x - x^2\) où \(x\) est la longueur d'un côté, avec \(x \in ]0, 10[\).
• Identité des variables : Choisir une variable comme inconnue principale
• Relations géométriques : Utiliser les formules connues (périmètre, aire)
• Domaine de définition : Tenir compte des contraintes physiques
Fonction de revenu : Fonction qui exprime le revenu total en fonction du nombre d'unités vendues.
Soit \(x\) le nombre d'articles vendus
Le prix de vente unitaire est de 10 €
Soit \(R(x)\) le revenu total (en €)
Revenu = Prix unitaire × Nombre d'articles vendus
Donc : \(R(x) = 10 \times x\)
\(R(x) = 10x\)
Le nombre d'articles vendus est un entier positif ou nul
Donc : \(x \in \mathbb{N}\) (ou \(x \in \mathbb{R}^+\) si on accepte les valeurs continues)
On prendra \(x \in [0, +\infty[\) pour continuer la modélisation
La fonction est linéaire : le revenu augmente proportionnellement au nombre d'articles vendus
Le coefficient directeur 10 représente le prix unitaire
Si \(x = 5\) : \(R(5) = 10 \times 5 = 50\) €
Si \(x = 15\) : \(R(15) = 10 \times 15 = 150\) €
Le revenu du commerçant s'exprime par la fonction \(R(x) = 10x\) où \(x\) est le nombre d'articles vendus, avec \(x \in [0, +\infty[\).
• Relation de proportionnalité : Revenu = Prix × Quantité
• Fonction linéaire : \(f(x) = ax\) où \(a\) est le coefficient de proportionnalité
• Domaine de définition : Tenir compte du contexte (ici, nombres d'objets)
Vitesse instantanée : Dérivée de la position par rapport au temps. La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse.
Soit \(v(t)\) la vitesse de la voiture en fonction du temps \(t\) (en km/h)
Soit \(d(t)\) la distance parcourue en fonction du temps \(t\) (en km)
On suppose que la vitesse suit une loi connue : \(v(t) = 60 + 10t - t^2\) (en km/h)
La vitesse est la dérivée de la distance par rapport au temps :
\(v(t) = \frac{dd}{dt}\)
Donc : \(d(t) = \int v(t) dt\)
\(d(t) = \int (60 + 10t - t^2) dt\)
\(d(t) = 60t + 5t^2 - \frac{t^3}{3} + C\)
Avec la condition initiale : \(d(0) = 0\) (distance nulle au départ)
Donc : \(C = 0\)
\(d(t) = 60t + 5t^2 - \frac{t^3}{3}\)
On considère \(t \geq 0\) (temps écoulé depuis le départ)
On peut limiter à l'intervalle où la vitesse est positive
Pour trouver où \(v(t) = 0\) : \(60 + 10t - t^2 = 0\)
\(t^2 - 10t - 60 = 0\)
\(\Delta = 100 + 240 = 340\)
\(t_1 = \frac{10 - \sqrt{340}}{2} \approx -3.4\) (impossible)
\(t_2 = \frac{10 + \sqrt{340}}{2} \approx 13.4\) heures
Donc : \(t \in [0, 13.4]\) environ
La fonction \(d(t) = 60t + 5t^2 - \frac{t^3}{3}\) modélise la distance parcourue
Elle commence à 0 et augmente initialement (vitesse positive)
La vitesse diminue avec le temps (terme \(-t^2\))
La distance parcourue par la voiture s'exprime par la fonction \(d(t) = 60t + 5t^2 - \frac{t^3}{3}\) où \(t\) est le temps en heures, avec \(t \in [0, 13.4]\).
• Relation vitesse-distance : \(v(t) = \frac{dd}{dt}\) donc \(d(t) = \int v(t) dt\)
• Intégration : \(\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C\)
• Conditions initiales : Permettent de déterminer la constante d'intégration
Fonction logarithmique : Fonction de la forme \(f(x) = a \ln(x) + b\) ou \(f(x) = a \log(x) + b\), souvent utilisée pour modéliser des phénomènes de croissance.
Soit \(t\) le temps (en jours ou semaines)
Soit \(h(t)\) la hauteur de la plante (en cm)
On suppose que la croissance suit une loi logarithmique
On modélise : \(h(t) = a \ln(t + 1) + b\)
À \(t = 0\) (plantation), la plante mesure 5 cm : \(h(0) = 5\)
À \(t = 7\) jours, la plante mesure 8 cm : \(h(7) = 8\)
Donc : \(h(0) = a \ln(1) + b = a \cdot 0 + b = b = 5\)
Et : \(h(7) = a \ln(8) + 5 = 8\)
Donc : \(a \ln(8) = 3\)
\(a = \frac{3}{\ln(8)} = \frac{3}{3\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)}\)
\(h(t) = \frac{1}{\ln(2)} \ln(t + 1) + 5\)
Ou : \(h(t) = \frac{\ln(t + 1)}{\ln(2)} + 5\)
On peut aussi écrire : \(h(t) = \log_2(t + 1) + 5\)
Pour que \(\ln(t + 1)\) soit défini, il faut : \(t + 1 > 0\)
Soit : \(t > -1\)
En pratique, \(t \geq 0\) (temps écoulé depuis la plantation)
Donc : \(t \in [0, +\infty[\)
\(h'(t) = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{1}{t + 1} = \frac{1}{(t + 1)\ln(2)}\)
Comme \(t + 1 > 0\) et \(\ln(2) > 0\), on a \(h'(t) > 0\)
Donc la fonction est croissante (la plante grandit)
De plus, \(h''(t) = -\frac{1}{(t + 1)^2\ln(2)} < 0\)
Donc la fonction est concave (la croissance ralentit avec le temps)
Après 1 semaine : \(h(7) = \log_2(8) + 5 = 3 + 5 = 8\) cm ✓
Après 2 semaines : \(h(14) = \log_2(15) + 5 \approx 3.91 + 5 = 8.91\) cm
Après 1 mois : \(h(30) = \log_2(31) + 5 \approx 4.95 + 5 = 9.95\) cm
La hauteur de la plante s'exprime par la fonction \(h(t) = \log_2(t+1) + 5\) où \(t\) est le temps en jours, avec \(t \in [0, +\infty[\).
• Fonction logarithmique : Modélise les phénomènes de croissance qui ralentissent
• Conditions initiales : Permettent de déterminer les paramètres de la fonction
• Dérivée logarithmique : \((\ln(u))' = \frac{u'}{u}\)
Fonction de coût : Fonction qui exprime le coût total de production en fonction du nombre d'unités produites.
Soit \(x\) le nombre d'unités produites
Soit \(C(x)\) le coût total de production (en €)
On suppose que le coût comprend :
- Coûts fixes : 1000 € (indépendants de la production)
- Coûts variables : 5 € par unité produite
- Coûts supplémentaires dus à la production de masse
Coût total = Coûts fixes + Coûts variables + Coûts supplémentaires
On modélise les coûts supplémentaires par un terme quadratique (effet de saturation, complexité)
\(C(x) = 1000 + 5x + 0.01x^2\)
Où :
- 1000 = coûts fixes
- 5x = coûts variables (5 € par unité)
- 0.01x² = coûts supplémentaires dus à la production de masse
Le nombre d'unités produites est positif ou nul : \(x \geq 0\)
Donc : \(x \in [0, +\infty[\)
Le coût moyen par unité est : \(CM(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{1000 + 5x + 0.01x^2}{x}\)
\(CM(x) = \frac{1000}{x} + 5 + 0.01x\)
\(CM'(x) = -\frac{1000}{x^2} + 0.01\)
\(CM'(x) = 0 \Leftrightarrow -\frac{1000}{x^2} + 0.01 = 0\)
\(\frac{1000}{x^2} = 0.01\)
\(x^2 = \frac{1000}{0.01} = 100000\)
\(x = \sqrt{100000} = 100\sqrt{10} \approx 316\)
Pour \(x < 316\) : \(CM'(x) < 0\) (coût moyen décroissant)
Pour \(x > 316\) : \(CM'(x) > 0\) (coût moyen croissant)
Donc le coût moyen est minimal pour environ 316 unités produites
Pour 100 unités : \(C(100) = 1000 + 5(100) + 0.01(10000) = 1000 + 500 + 100 = 1600\) €
Pour 500 unités : \(C(500) = 1000 + 5(500) + 0.01(250000) = 1000 + 2500 + 2500 = 6000\) €
Coût moyen pour 316 unités : \(CM(316) = \frac{1000}{316} + 5 + 0.01(316) \approx 3.16 + 5 + 3.16 = 11.32\) €
Le coût total de production s'exprime par la fonction \(C(x) = 1000 + 5x + 0.01x^2\) où \(x\) est le nombre d'unités produites, avec \(x \in [0, +\infty[\).
• Fonction de coût : Somme des coûts fixes et variables
• Coût moyen : Coût total divisé par la quantité produite
• Optimisation : Recherche du minimum du coût moyen
- Étape 1 : Lire attentivement l'énoncé et identifier la question posée
- Étape 2 : Identifier les grandeurs connues et inconnues
- Étape 3 : Choisir la variable indépendante (celle qui va varier librement)
- Étape 4 : Établir les relations entre les différentes grandeurs
- Étape 5 : Exprimer la grandeur demandée en fonction de la variable choisie
- Étape 6 : Déterminer le domaine de définition de la fonction
- Étape 7 : Résoudre le problème mathématique
- Étape 8 : Interpréter les résultats dans le contexte du problème
- La variable indépendante est celle que l'on peut contrôler ou faire varier
- La variable dépendante est celle que l'on cherche à exprimer
- Le domaine de définition doit tenir compte des contraintes physiques
- Les unités doivent être cohérentes dans les calculs
- La fonction obtenue doit respecter les conditions initiales
- Fonction linéaire : \(f(x) = ax\) (proportionnalité)
- Fonction affine : \(f(x) = ax + b\) (relation linéaire avec terme constant)
- Fonction quadratique : \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (phénomènes de second degré)
- Fonction exponentielle : \(f(x) = a^x\) (croissance rapide)
- Fonction logarithmique : \(f(x) = \ln(x)\) (croissance lente)
- Fonction rationnelle : \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) (rapport de grandeurs)
