Définitions et concepts
Modélisation : Représentation mathématique d'une situation réelle
Fonction de coût : C(x) = coût total en fonction de la quantité
Fonction de profit : P(x) = Recette - Coût
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Modèle quadratique courant
Exemple 1 - Aire maximale :
Rectangle de périmètre fixe P = 20m
f(x) = x(10-x) = 10x - x²
f(x) = x(10-x) = 10x - x²
Exemple 2 - Profit maximal :
Prix unitaire = 5€, coût = 2€
f(x) = 3x - 0.01x²
f(x) = 3x - 0.01x²
Méthodologie de traduction
Étape 1 : Identifier les variables
Étape 2 : Établir les relations entre variables
Étape 3 : Exprimer la grandeur à optimiser
Étape 4 : Déterminer le domaine de définition
Étape 5 : Étudier la fonction obtenue
Types de problèmes courants
Optimisation géométrique
Problèmes économiques
Phénomènes physiques
Études de croissance
Conseils & Astuces
Identifier clairement la variable principale
Représenter la situation avec un schéma
Vérifier l'homogénéité des unités
Interpréter les résultats dans le contexte
Tester avec des valeurs simples
Exemples détaillés
Problème du rectangle :
Périmètre = 20m, aire = ?
Soit x = longueur, alors largeur = 10-x
A(x) = x(10-x) = 10x - x²
Soit x = longueur, alors largeur = 10-x
A(x) = x(10-x) = 10x - x²
Problème du volume :
Boîte sans couvercle de côté x
V(x) = x(a-2x)(b-2x)
avec a,b dimensions initiales
V(x) = x(a-2x)(b-2x)
avec a,b dimensions initiales
Problème économique :
Demande p = 100 - 2q
R(q) = q(100-2q) = 100q - 2q²
C(q) = 50q ⇒ P(q) = 50q - 2q²
R(q) = q(100-2q) = 100q - 2q²
C(q) = 50q ⇒ P(q) = 50q - 2q²
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre la variable indépendante et dépendante
Erreur 2 :
Oublier les contraintes physiques du problème
Erreur 3 :
Ne pas vérifier la validité des solutions
