Traduction de problèmes réels en fonctions mathématiques

La modélisation mathématique consiste à représenter une situation réelle par des objets mathématiques (nombres, équations, fonctions, graphiques).

C'est le processus de transformation d'un problème concret en un modèle mathématique qui permet de l'analyser et de le résoudre.

La traduction de problèmes réels en fonctions est une étape clé de ce processus.

1. 1 Lire et comprendre le problème
2. 2 Identifier les grandeurs variables
3. 3 Choisir les variables
4. 4 Établir la relation mathématique
5. 5 Créer la fonction
6. 6 Analyser la fonction
7. 7 Interpréter les résultats

Un cycliste roule à vitesse constante de 20 km/h.

• Grandeur variable : distance parcourue

• Variable : temps t (en heures)

• Relation : distance = vitesse × temps

• Fonction : d(t) = 20t

Cette fonction modélise la distance parcourue en fonction du temps.

Variable indépendante : C'est la variable d'entrée, celle que l'on peut contrôler ou modifier librement.

Variable dépendante : C'est la variable de sortie, celle qui dépend de la variable indépendante.

Exemple : Dans la fonction d(t) = 20t, t est la variable indépendante et d est la variable dépendante.

• Lire attentivement le problème
• Identifier ce qui change dans la situation
• Repérer ce que l'on cherche à déterminer
• Distinguer ce que l'on peut contrôler de ce qui résulte de ce contrôle
• Attribuer des lettres aux variables (x, y, t, etc.)

Exemple 1 : Coût de fabrication en fonction de la quantité produite

• Variable indépendante : quantité produite (x)

• Variable dépendante : coût total (C)

• Fonction : C(x) = ...

Exemple 2 : Température en fonction du temps

• Variable indépendante : temps (t)

• Variable dépendante : température (T)

• Fonction : T(t) = ...

• Relation linéaire : y = ax + b
• Relation quadratique : y = ax² + bx + c
• Relation inverse : y = a/x
• Relation exponentielle : y = a·bˣ
• Relation proportionnelle : y = kx

1. Identifier les grandeurs concernées
2. Rechercher les relations connues entre ces grandeurs
3. Traduire les mots en expressions mathématiques
4. Identifier les constantes (paramètres fixes)
5. Écrire la relation sous forme de fonction

Exemple 1 : Aire d'un carré en fonction de son côté

• Variable indépendante : côté x

• Variable dépendante : aire A

• Relation : A = x²

• Fonction : A(x) = x²

Exemple 2 : Volume d'une boîte en fonction de la taille des coins découpés

• Soit une plaque carrée de côté 20cm, on découpe des carrés de côté x dans chaque coin

• Longueur de la boîte : 20 - 2x

• Largeur de la boîte : 20 - 2x

• Hauteur de la boîte : x

• Fonction : V(x) = x(20-2x)²

On dispose d'une corde de 20m. Quelles dimensions donner à un rectangle pour que son aire soit maximale ?

Étape 1 : Variables

• Variable indépendante : longueur (x)

• Variable dépendante : aire (A)

Étape 2 : Relations

• Périmètre : 2x + 2y = 20, donc y = 10 - x

• Aire : A = x × y = x(10 - x) = 10x - x²

• Fonction : A(x) = -x² + 10x

Étape 3 : Analyse

• A'(x) = -2x + 10

• A'(x) = 0 ⟺ x = 5

• Le rectangle est un carré de côté 5m pour maximiser l'aire

Représentent des relations de proportionnalité avec un décalage.

Applications : coûts fixes + coûts variables, conversion d'unités, vitesse constante.

Exemple : C(x) = 5x + 10 (5€ par unité + 10€ de frais fixes)

Modélisent des situations avec un maximum ou minimum.

Applications : aire maximale, profit optimal, trajectoire.

Exemple : A(x) = -x² + 10x (aire d'un rectangle de périmètre fixe)

Représentent des rapports ou des situations avec des contraintes.

Applications : coûts moyens, taux de concentration, vitesse moyenne.

Exemple : CM(x) = (1000 + 5x)/x (coût moyen de production)

Modélisent des croissances ou décroissances rapides.

Applications : croissance démographique, intérêts composés, décroissance radioactive.

Exemple : P(t) = 1000·1.05ᵗ (population avec croissance de 5%)

1. Coût total : C(x) = 5000 + 30x

2. Revenu : R(x) = 80x

3. Bénéfice : B(x) = R(x) - C(x) = 80x - (5000 + 30x) = 50x - 5000

4. Être bénéficiaire signifie B(x) > 0

50x - 5000 > 0 ⟺ 50x > 5000 ⟺ x > 100

Il faut vendre plus de 100 chaises pour être bénéficiaire.

Soit x la largeur (perpendiculaire au mur) et y la longueur (parallèle au mur).

1. Contrainte : 2x + y = 30, donc y = 30 - 2x

Aire : A(x) = x × y = x(30 - 2x) = 30x - 2x²

2. A'(x) = 30 - 4x

A'(x) = 0 ⟺ x = 7.5

3. A(7.5) = 30(7.5) - 2(7.5)² = 225 - 112.5 = 112.5 m²

Dimensions : x = 7.5m, y = 15m pour une aire maximale de 112.5 m².

Après découpage, les dimensions de la boîte sont :

Longueur = largeur = 12 - 2x, hauteur = x

1. Volume : V(x) = x(12 - 2x)² = x(144 - 48x + 4x²) = 4x³ - 48x² + 144x

2. V'(x) = 12x² - 96x + 144 = 12(x² - 8x + 12)

V'(x) = 0 ⟺ x² - 8x + 12 = 0

Δ = 64 - 48 = 16, donc x = (8 ± 4)/2

x₁ = 2, x₂ = 6

Pour que la boîte existe, il faut x < 6, donc x = 2

3. V(2) = 4(8) - 48(4) + 144(2) = 32 - 192 + 288 = 128 cm³

Le volume est maximal pour x = 2cm, avec un volume de 128 cm³.

• Le modèle respecte-t-il les contraintes du problème ?
• Les unités sont-elles cohérentes ?
• Les valeurs obtenues sont-elles réalistes ?
• Le modèle prédit-il correctement des cas connus ?
• Le domaine de définition est-il correct ?

Après avoir trouvé une solution mathématique, il faut :

• Revenir au contexte réel
• Vérifier que la solution a du sens
• Exprimer la réponse dans les unités appropriées
• Prendre en compte les limitations du modèle

Exemple : Si un problème de géométrie donne x = -3 comme solution, cela n'a pas de sens dans le contexte réel.

• Un modèle est une simplification de la réalité
• Il repose sur des hypothèses qui peuvent ne pas être exactes
• Les résultats doivent être interprétés avec prudence
• Le modèle peut ne pas être valable en dehors d'un certain domaine
• Il peut falloir affiner le modèle pour améliorer la précision

1. 1 Lire attentivement le problème et identifier les données
2. 2 Déterminer les grandeurs qui varient
3. 3 Choisir les variables (indépendante et dépendante)
4. 4 Identifier les relations entre les grandeurs
5. 5 Établir la fonction mathématique
6. 6 Préciser le domaine de définition
7. 7 Analyser la fonction (variations, extremums, etc.)
8. 8 Interpréter les résultats dans le contexte réel
9. 9 Valider le modèle et les résultats

• Faire un schéma pour visualiser la situation
• Identifier clairement les variables et leurs unités
• Vérifier la cohérence des unités dans les calculs
• Tester la fonction avec des cas simples
• Interpréter les résultats dans le contexte du problème
• Considérer les contraintes réalistes

• Confondre variable indépendante et dépendante
• Oublier les contraintes du problème
• Ne pas préciser le domaine de définition
• Donner des réponses non réalistes (négatives pour des longueurs)
• Ne pas vérifier la cohérence des unités
• Interpréter incorrectement les résultats

• Transformer un problème réel en modèle mathématique
• Identifier les variables indépendantes et dépendantes
• Établir la relation fonctionnelle entre les variables
• Valider le modèle et interpréter les résultats

• Problèmes économiques (coûts, profits, revenus)
• Problèmes géométriques (aires, volumes, périmètres)
• Phénomènes physiques (distance, temps, vitesse)
• Phénomènes biologiques (croissance, décroissance)

• Lire et comprendre le problème
• Identifier les variables
• Établir les relations mathématiques
• Créer la fonction
• Analyser et interpréter