Ajustements de données en mathématiques

L'ajustement de données est une méthode statistique qui consiste à chercher une fonction mathématique qui modélise au mieux un nuage de points.

Objectif : trouver une relation mathématique entre deux variables x et y à partir de données expérimentales ou observées.

L'ajustement permet de :

• Identifier une tendance dans les données
• Faire des prévisions
• Comprendre la relation entre les variables
• Estimer des valeurs manquantes

• Ajustement affine : droite de régression
• Ajustement polynomial : fonction du second degré, cubique, etc.
• Ajustement exponentiel : croissance ou décroissance exponentielle
• Ajustement logarithmique : relation logarithmique
• Ajustement puissance : relation de type y = ax^n

Le coefficient de corrélation r mesure la qualité de l'ajustement.

• r proche de 1 ou -1 : forte corrélation (ajustement de bonne qualité)
• r proche de 0 : faible corrélation (ajustement de mauvaise qualité)
• Plus |r| est proche de 1, plus l'ajustement est bon

Un nuage de points est une représentation graphique d'un ensemble de couples (xi, yi) dans un repère orthogonal.

Chaque point du nuage correspond à une observation ou une mesure.

Le but est de visualiser la relation entre les deux variables x et y.

Exemple : (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xn, yn)

• Relation linéaire positive : les points semblent alignés avec une pente positive
• Relation linéaire négative : les points semblent alignés avec une pente négative
• Relation non linéaire : les points suivent une courbe
• Absence de relation : les points sont dispersés sans tendance claire

Soit le nuage de points suivant :

(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 8)

• Les points semblent alignés

• La tendance est croissante

• Un ajustement affine semble approprié

• La droite de régression serait de la forme y = ax + b

L'ajustement affine consiste à chercher une droite d'équation y = ax + b qui approche au mieux un nuage de points.

La méthode la plus courante est la méthode des moindres carrés.

Objectif : minimiser la somme des carrés des écarts entre les points et la droite.

Soit un nuage de n points (xi, yi). La droite de régression y = ax + b a pour coefficients :

Où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes respectives des x et des y.

Soit le nuage : (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 8)

• \(\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\)

• \(\bar{y} = \frac{2+4+5+7+8}{5} = 5.2\)

• \(\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (-2)(-3.2) + (-1)(-1.2) + (0)(-0.2) + (1)(1.8) + (2)(2.8) = 6.4 + 1.2 + 0 + 1.8 + 5.6 = 15\)

• \(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (-2)² + (-1)² + 0² + 1² + 2² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10\)

• \(a = \frac{15}{10} = 1.5\)

• \(b = 5.2 - 1.5 \times 3 = 5.2 - 4.5 = 0.7\)

• La droite de régression est : y = 1.5x + 0.7

Le coefficient de corrélation mesure la force et le sens de la relation linéaire entre deux variables.

• -1 ≤ r ≤ 1

• r = 1 : corrélation linéaire positive parfaite

• r = -1 : corrélation linéaire négative parfaite

• r = 0 : absence de corrélation linéaire

• |r| > 0.9 : excellente corrélation
• 0.7 < |r| ≤ 0.9 : bonne corrélation
• 0.5 < |r| ≤ 0.7 : corrélation modérée
• 0.3 < |r| ≤ 0.5 : faible corrélation
• |r| ≤ 0.3 : très faible corrélation

Nuage : (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 8)

Nous avons déjà calculé :

• \(\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 15\)

• \(\sum(x_i - \bar{x})^2 = 10\)

• \(\sum(y_i - \bar{y})^2 = (-3.2)² + (-1.2)² + (-0.2)² + (1.8)² + (2.8)² = 10.24 + 1.44 + 0.04 + 3.24 + 7.84 = 22.8\)

• \(r = \frac{15}{\sqrt{10 \times 22.8}} = \frac{15}{\sqrt{228}} = \frac{15}{15.1} ≈ 0.993\)

Le coefficient de corrélation est très proche de 1, ce qui indique une excellente corrélation linéaire.

Quand la relation entre x et y n'est pas linéaire, on peut utiliser :

• Fonction quadratique : y = ax² + bx + c
• Fonction cubique : y = ax³ + bx² + cx + d
• Fonction de degré n : y = anxn + ... + a₁x + a₀

Ces ajustements sont utiles pour modéliser des phénomènes avec des extremums ou des changements de concavité.

Forme : y = a·ebx ou y = a·bx

Applications :

• Croissance démographique
• Décroissance radioactive
• Intérêts composés
• Phénomènes de propagation

Transformation logarithmique : ln(y) = ln(a) + bx (linéarisation)

Forme : y = a·ln(x) + b

Applications :

• Phénomènes de saturation
• Réaction chimique
• Psychologie (loi de Weber-Fechner)

Transformation exponentielle : x = e^(y-b)/a (linéarisation)

Voici la population de bactéries en fonction du temps :

Temps (heures)	Population
0	100
1	120
2	144
3	173
4	207

Modèle exponentiel : y = 100·1.2^x

La croissance est de 20% par heure

1. Point moyen G : \(\bar{x} = \frac{8+10+12+14+16}{5} = 12\), \(\bar{y} = \frac{7+9+11+13+15}{5} = 11\)

Donc G(12; 11)

2. Calcul des coefficients :

\(\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (-4)(-4) + (-2)(-2) + (0)(0) + (2)(2) + (4)(4) = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\)

\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\)

\(a = \frac{40}{40} = 1\)

\(b = 11 - 1 \times 12 = -1\)

Équation de la droite : y = x - 1

3. Calcul de r :

\(\sum(y_i - \bar{y})^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\)

\(r = \frac{40}{\sqrt{40 \times 40}} = \frac{40}{40} = 1\)

4. Interprétation : r = 1 indique une corrélation linéaire parfaite. La droite y = x - 1 passe exactement par tous les points.

Le nuage de points suggère une croissance exponentielle.

On suppose un modèle : N(t) = a·bt

En prenant le logarithme : ln(N) = ln(a) + t·ln(b)

On peut linéariser et utiliser la méthode des moindres carrés sur (t, ln(N)) :

ln(N) = ln(100) + ln(1.5)t ≈ 4.605 + 0.405t

Donc N(t) ≈ 100·e^(0.405t) ≈ 100·1.5^t

Au bout de 6 heures : N(6) ≈ 100·1.5^6 ≈ 100·11.39 ≈ 1139 bactéries

1. Le nuage de points montre une décroissance rapide au début, puis de plus en plus lente. Cela suggère un ajustement exponentiel.

2. Justification : Le refroidissement suit une loi exponentielle (loi de Newton), donc un ajustement de la forme T(t) = T∞ + (T₀ - T∞)·e^(-kt) est approprié.

3. Modèle : On peut linéariser avec ln(T - T∞) = ln(T₀ - T∞) - kt

En supposant T∞ ≈ 20°C (température ambiante), on peut ajuster ln(T - 20) = a - kt

Le modèle serait de la forme T(t) = 20 + 60·e^(-0.04t)

Une fois un modèle ajusté, on peut :

• Interpolation : estimer des valeurs à l'intérieur de l'intervalle des données
• Extrapolation : estimer des valeurs en dehors de l'intervalle des données
• Prévision : prédire des tendances futures

Exemple : Si le modèle est y = 1.5x + 0.7, pour x = 6, on prédit y = 1.5×6 + 0.7 = 9.7

• L'extrapolation peut être risquée
• Le modèle n'est valable que dans la plage des données
• Les conditions peuvent changer en dehors de la plage observée
• Un modèle qui est bon pour interpolation peut être inexact pour extrapolation

Exemple : Un modèle de croissance démographique basé sur les données des 10 dernières années peut ne pas être valable pour prédire la population dans 50 ans.

• La qualité des prédictions dépend de la qualité de l'ajustement
• Plus |r| est proche de 1, plus la prédiction est fiable
• Il est important de considérer l'intervalle de confiance
• Les prédictions doivent être interprétées avec prudence

Le coefficient de détermination R² = r² indique le pourcentage de la variation de y expliquée par x.

1. 1 Représenter le nuage de points
2. 2 Analyser la forme du nuage
3. 3 Choisir le type d'ajustement approprié
4. 4 Calculer les paramètres du modèle
5. 5 Calculer le coefficient de corrélation
6. 6 Valider le modèle
7. 7 Utiliser le modèle pour des prédictions

• Commencer par tracer le nuage de points pour visualiser la tendance
• Calculer les moyennes des x et des y
• Vérifier que le point moyen appartient à la droite de régression
• Calculer le coefficient de corrélation pour évaluer la qualité
• Interpréter les coefficients dans le contexte du problème
• Faire attention aux limites de validité du modèle

• Appliquer un ajustement linéaire à des données non linéaires
• Confondre corrélation et causalité
• Faire des extrapolations sans prudence
• Oublier de vérifier la qualité de l'ajustement
• Interpréter un coefficient de corrélation faible comme significatif
• Ne pas considérer les données aberrantes

• Représentation d'un nuage de points
• Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
• Calcul du coefficient de corrélation
• Prédictions et extrapolations

• Étude de tendances
• Prévisions économiques
• Analyses scientifiques
• Modélisation de phénomènes

• Visualisation du nuage de points
• Choix du modèle d'ajustement
• Calcul des paramètres
• Évaluation de la qualité
• Utilisation pour des prédictions