Applications scientifiques et économiques des mathématiques

Une application mathématique consiste à utiliser les outils mathématiques pour modéliser, analyser et résoudre des problèmes provenant de la vie réelle, des sciences ou de l'économie.

Elle permet de :

• Traduire une situation concrète en langage mathématique
• Utiliser des fonctions pour représenter des phénomènes
• Prévoir l'évolution de systèmes complexes
• Optimiser des situations (coût, profit, efficacité)
• Comprendre les relations entre différentes grandeurs

• Sciences physiques : mouvement, thermodynamique, électromagnétisme
• Biologie : croissance des populations, dynamique des écosystèmes
• Économie : coûts, profits, taux de croissance
• Finance : intérêts composés, investissements
• Ingénierie : conception, optimisation
• Médecine : pharmacocinétique, modèles épidémiologiques

1. 1 Identifier la situation réelle
2. 2 Déterminer les variables pertinentes
3. 3 Établir les relations mathématiques
4. 4 Créer un modèle mathématique
5. 5 Résoudre le modèle
6. 6 Interpréter les résultats
7. 7 Valider les conclusions

Beaucoup de phénomènes naturels suivent une croissance exponentielle :

Où :

• N(t) est la quantité au temps t
• N₀ est la quantité initiale
• k est le taux de croissance
• e est la base du logarithme naturel

Applications : croissance bactérienne, réaction en chaîne, diffusion de rumeurs

La décroissance exponentielle modélise des phénomènes comme :

Applications :

• Décroissance radioactive (demi-vie)
• Refroidissement d'un corps
• Élimination d'un médicament
• Décharge d'un condensateur

La température d'un corps en refroidissement suit la loi de Newton :

Où T∞ est la température ambiante, T₀ la température initiale, et k une constante.

Cette fonction montre une décroissance exponentielle vers la température ambiante.

Les fonctions de coût modélisent les dépenses d'une entreprise :

• Coût fixe : CF (indépendant de la production)
• Coût variable : CV(x) (dépend de la quantité x)
• Coût total : CT(x) = CF + CV(x)
• Coût moyen : CM(x) = CT(x)/x
• Coût marginal : Cmg(x) = CT'(x)

Exemple : CT(x) = 0.01x³ - 0.5x² + 10x + 100

La fonction de demande exprime la quantité demandée en fonction du prix :

Généralement, la demande diminue quand le prix augmente (fonction décroissante).

Exemple : q = 100 - 2p (relation linéaire)

Ou : q = 500/p (relation hyperbolique)

Le profit est la différence entre le revenu et le coût :

Où R(x) est le revenu et C(x) le coût.

Pour maximiser le profit : B'(x) = 0 et B''(x) < 0

Condition d'optimalité : Recette marginale = Coût marginal

Une entreprise a une fonction de coût : C(x) = 0.02x² + 5x + 1000 (en euros), où x est la quantité produite.

Le prix de vente unitaire est de 20€.

1. Revenu : R(x) = 20x

2. Profit : B(x) = R(x) - C(x) = 20x - (0.02x² + 5x + 1000) = -0.02x² + 15x - 1000

3. B'(x) = -0.04x + 15

4. B'(x) = 0 ⟺ x = 375

5. B''(x) = -0.04 < 0, donc x = 375 est un maximum

6. Le profit est maximal pour une production de 375 unités.

7. Profit maximal : B(375) = -0.02(375)² + 15(375) - 1000 = 1812.50 €

Un café chaud à 80°C est placé dans une pièce à 20°C. Sa température suit : T(t) = 20 + 60e^(-0.1t), où t est en minutes.

1. Température initiale : T(0) = 20 + 60 = 80°C

2. Température après 10 minutes : T(10) = 20 + 60e^(-1) ≈ 20 + 60×0.368 ≈ 42.1°C

3. Température finale : lim(t→∞) T(t) = 20°C (température ambiante)

4. T'(t) = -6e^(-0.1t), donc la température diminue toujours (T' < 0)

5. Le café se refroidit de manière exponentielle vers la température ambiante.

1. Modèle de croissance exponentielle : N(t) = N₀·2^(t/T), où T est le temps de doublement.

Donc N(t) = 100·2^(t/3)

On peut aussi écrire : N(t) = 100·e^(ln(2)·t/3) ≈ 100·e^(0.231t)

2. Après 12 heures : N(12) = 100·2^(12/3) = 100·2⁴ = 100·16 = 1600 bactéries

3. Pour N(t) = 10000 :

10000 = 100·2^(t/3)

100 = 2^(t/3)

log₂(100) = t/3

t = 3·log₂(100) = 3·ln(100)/ln(2) ≈ 3·6.644 ≈ 19.9 heures

1. Revenu : R(x) = 30x

Coût : C(x) = 0.01x² + 2x + 500

Profit : B(x) = R(x) - C(x) = 30x - (0.01x² + 2x + 500) = -0.01x² + 28x - 500

2. B'(x) = -0.02x + 28

B'(x) = 0 ⟺ x = 28/0.02 = 1400

Comme B''(x) = -0.02 < 0, x = 1400 est un maximum.

3. Profit maximal : B(1400) = -0.01(1400)² + 28(1400) - 500 = -19600 + 39200 - 500 = 19100€

4. Seuil de rentabilité : B(x) = 0

-0.01x² + 28x - 500 = 0

0.01x² - 28x + 500 = 0

Δ = 784 - 20 = 764

x = (28 ± √764)/0.02 ≈ (28 ± 27.64)/0.02

x₁ ≈ 18.2, x₂ ≈ 2761.8

L'entreprise est rentable pour x ∈ [18.2; 2761.8]

1. Quantité initiale : N(0) = 1000·e^0 = 1000 unités

2. Demi-vie : N(t) = N₀/2

500 = 1000·e^(-0.05t)

0.5 = e^(-0.05t)

ln(0.5) = -0.05t

t = -ln(0.5)/0.05 = ln(2)/0.05 ≈ 0.693/0.05 ≈ 13.86 jours

3. Après 20 jours : N(20) = 1000·e^(-0.05×20) = 1000·e^(-1) ≈ 1000×0.368 ≈ 368 unités

4. Pour N(t) < 100 :

1000·e^(-0.05t) < 100

e^(-0.05t) < 0.1

-0.05t < ln(0.1)

t > -ln(0.1)/0.05 = ln(10)/0.05 ≈ 2.303/0.05 ≈ 46.06 jours

La quantité sera inférieure à 100 unités après environ 46 jours.

1. 1 Comprendre le problème et identifier les variables
2. 2 Choisir le type de fonction approprié (linéaire, exponentielle, quadratique, etc.)
3. 3 Établir les relations mathématiques
4. 4 Déterminer les paramètres du modèle
5. 5 Analyser le modèle (variations, extremums, etc.)
6. 6 Interpréter les résultats dans le contexte réel
7. 7 Valider la pertinence du modèle

• Fonctions linéaires : relations de proportionnalité (prix, distance, etc.)
• Fonctions quadratiques : situations avec maximum/minimum (aires, profits, trajectoires)
• Fonctions exponentielles : croissance/décroissance rapide (populations, intérêts, radioactivité)
• Fonctions rationnelles : rapports, coûts moyens
• Fonctions logarithmiques : phénomènes de saturation

• Faire un schéma pour visualiser la situation
• Identifier clairement les grandeurs à modéliser
• Vérifier la cohérence des unités
• Interpréter les résultats dans le contexte du problème
• Valider la pertinence du modèle choisi
• Considérer les limites du modèle

• Les mathématiques permettent de modéliser des phénomènes réels
• Les fonctions sont des outils puissants pour représenter des relations
• Les modèles mathématiques aident à prédire et optimiser
• La modélisation suit une démarche systématique

• Sciences : croissance, décroissance, mouvement
• Économie : coûts, profits, demande
• Technologie : optimisation, prévision
• Médecine : pharmacocinétique, épidémiologie

• Identifier les variables
• Choisir le bon modèle
• Établir les relations
• Valider les résultats