Fonction exponentielle : Fonction de la forme \(f(t) = P_0 e^{rt}\) où \(P_0\) est la valeur initiale, \(r\) le taux de croissance et \(t\) le temps.
- Identifier les données du problème
- Établir la fonction modélisant le phénomène
- Substituer la valeur demandée dans la fonction
- Calculer la valeur finale
- Interpréter le résultat dans le contexte
La population évolue selon : \(P(t) = 10000e^{0.03t}\)
Avec \(t\) en années
On veut la population après 10 ans
Population initiale : \(P_0 = 10000\)
Taux de croissance : \(r = 0.03\) (soit 3% par an)
Temps : \(t = 10\) ans
\(P(10) = 10000e^{0.03 \times 10}\)
\(P(10) = 10000e^{0.3}\)
\(e^{0.3} \approx 1.3499\)
\(P(10) = 10000 \times 1.3499\)
\(P(10) = 13499\)
Après 10 ans, la population sera de 13 499 habitants
Elle aura augmenté de 3 499 habitants (35%)
La population de la ville après 10 ans sera d'environ 13 499 habitants.
• Fonction exponentielle : \(f(t) = P_0 e^{rt}\) modélise la croissance continue
• Taux de croissance : \(r > 0\) pour la croissance, \(r < 0\) pour la décroissance
• Calcul : Utilisation de la fonction exponentielle et arrondi approprié
Fonction de profit : \(P(x) = R(x) - C(x)\) où \(R(x)\) est le revenu et \(C(x)\) le coût total.
Prix de vente unitaire : 25 €
Coût de fabrication : \(C(x) = 0.5x^2 + 10x + 200\)
Nombre d'unités vendues : \(x\)
Revenu = Prix unitaire × Quantité vendue
\(R(x) = 25x\)
Profit = Revenu - Coût
\(P(x) = R(x) - C(x)\)
\(P(x) = 25x - (0.5x^2 + 10x + 200)\)
\(P(x) = 25x - 0.5x^2 - 10x - 200\)
\(P(x) = -0.5x^2 + 15x - 200\)
Pour maximiser le profit, on dérive la fonction :
\(P'(x) = -x + 15\)
\(P'(x) = 0 \Leftrightarrow -x + 15 = 0\)
\(x = 15\)
\(P''(x) = -1 < 0\)
Donc \(x = 15\) correspond à un maximum
\(P(15) = -0.5(15)^2 + 15(15) - 200\)
\(P(15) = -0.5(225) + 225 - 200\)
\(P(15) = -112.5 + 225 - 200\)
\(P(15) = -87.5\)
Attendez... le profit est négatif !
Vérifions : \(C(15) = 0.5(225) + 10(15) + 200 = 112.5 + 150 + 200 = 462.5\)
\(R(15) = 25(15) = 375\)
\(P(15) = 375 - 462.5 = -87.5\)
Le maximum est atteint mais reste négatif. Trouvons quand le profit devient positif :
\(P(x) = 0 \Rightarrow -0.5x^2 + 15x - 200 = 0\)
\(0.5x^2 - 15x + 200 = 0\)
\(\Delta = 225 - 400 = -175 < 0\)
Le profit est toujours négatif ! Il n'y a pas de profit possible avec ces données.
Le maximum de perte est de 87.5 € pour 15 unités produites.
Le profit est toujours négatif avec ces données. Le maximum de perte est de 87.5 € pour 15 unités produites.
• Profit : \(P(x) = R(x) - C(x)\)
• Optimisation : \(P'(x) = 0\) pour les extremums
• Vérification : \(P''(x) < 0\) pour un maximum
Loi de refroidissement de Newton : \(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}\) où \(T_a\) est la température ambiante, \(T_0\) la température initiale, et \(k\) une constante.
Température : \(T(t) = 20 + 60e^{-0.1t}\)
Temps en minutes
On veut la température après 5 minutes
Température ambiante : \(T_a = 20°C\)
Température initiale : \(T_0 = 20 + 60 = 80°C\)
Constante de refroidissement : \(k = 0.1\)
\(T(5) = 20 + 60e^{-0.1 \times 5}\)
\(T(5) = 20 + 60e^{-0.5}\)
\(e^{-0.5} \approx 0.6065\)
\(T(5) = 20 + 60 \times 0.6065\)
\(T(5) = 20 + 36.39\)
\(T(5) \approx 56.39°C\)
Après 5 minutes, l'objet est à environ 56.4°C
Il a perdu environ 23.6°C (80 - 56.4)
Il tend vers la température ambiante de 20°C
Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0.1t} \to 0\)
Donc \(T(t) \to 20°C\) (température ambiante)
La constante \(k = 0.1\) indique la rapidité du refroidissement
La température de l'objet après 5 minutes est d'environ 56.4°C.
• Loi de Newton : \(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}\)
• Exponentielle négative : Fonction décroissante tendant vers 0
• Comportement asymptotique : Température tend vers la température ambiante
Fonction de demande : Relation entre le prix d'un produit et la quantité demandée par les consommateurs.
Fonction de demande : \(D(p) = 1000 - 5p\)
Où \(D(p)\) est la quantité demandée et \(p\) le prix
On veut maximiser le revenu
Revenu = Prix × Quantité vendue
\(R(p) = p \times D(p)\)
\(R(p) = p(1000 - 5p)\)
\(R(p) = 1000p - 5p^2\)
Pour maximiser le revenu, on dérive la fonction :
\(R'(p) = 1000 - 10p\)
\(R'(p) = 0 \Leftrightarrow 1000 - 10p = 0\)
\(10p = 1000\)
\(p = 100\)
\(R''(p) = -10 < 0\)
Donc \(p = 100\) correspond à un maximum
\(R(100) = 1000(100) - 5(100)^2\)
\(R(100) = 100000 - 50000\)
\(R(100) = 50000\)
\(D(100) = 1000 - 5(100) = 1000 - 500 = 500\)
Revenu = Prix × Quantité = 100 × 500 = 50000 € ✓
Le prix optimal pour maximiser le revenu est de 100 €
À ce prix, 500 unités seront vendues
Le revenu maximal est de 50 000 €
Le prix qui maximise le revenu est de 100 €, produisant un revenu maximal de 50 000 €.
• Fonction de revenu : \(R(p) = p \times D(p)\)
• Optimisation : \(R'(p) = 0\) pour les extremums
• Élasticité de la demande : La quantité diminue avec le prix
Croissance exponentielle : Phénomène où une quantité double à intervalles réguliers, modélisé par \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\) où \(T\) est le temps de doublement.
La culture double toutes les 3 heures
On veut la population après 24 heures
On suppose une population initiale \(N_0\)
Formule générale : \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\)
Avec \(T = 3\) heures (période de doublement)
Donc : \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3}\)
\(N(24) = N_0 \cdot 2^{24/3}\)
\(N(24) = N_0 \cdot 2^8\)
\(N(24) = N_0 \cdot 256\)
Après 24 heures, la population est multipliée par 256
Si \(N_0 = 1\) bactérie initiale, alors \(N(24) = 256\) bactéries
Si \(N_0 = 1000\) bactéries initiales, alors \(N(24) = 256000\) bactéries
Nombre de cycles de doublement en 24h : \(24 ÷ 3 = 8\) cycles
Chaque cycle double la population
Donc multiplication par \(2^8 = 256\)
On peut aussi écrire : \(N(t) = N_0 e^{kt}\)
Avec \(k = \frac{\ln(2)}{T} = \frac{\ln(2)}{3} \approx 0.231\)
\(N(24) = N_0 e^{0.231 \times 24} = N_0 e^{5.545} \approx N_0 \times 256\) ✓
Ce modèle suppose des ressources illimitées
En pratique, la croissance est limitée par les nutriments et l'espace
On utilise souvent un modèle logistique pour les populations réelles
Après 24 heures, la population bactérienne est multipliée par 256, soit \(N(24) = 256 \times N_0\).
• Croissance exponentielle : \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\)
• Temps de doublement : \(T\) période pour doubler la quantité
• Calcul : \(2^n\) pour n cycles de doublement
- Étape 1 : Comprendre le problème et identifier les grandeurs pertinentes
- Étape 2 : Établir des relations entre les variables (équations)
- Étape 3 : Choisir un modèle mathématique adapté
- Étape 4 : Résoudre les équations mathématiques
- Étape 5 : Interpréter les résultats dans le contexte réel
- Étape 6 : Valider le modèle et les résultats
- La croissance exponentielle est modélisée par \(f(t) = a \cdot e^{kt}\) avec \(k > 0\)
- La décroissance exponentielle est modélisée par \(f(t) = a \cdot e^{kt}\) avec \(k < 0\)
- Le profit est la différence entre le revenu et le coût : \(P(x) = R(x) - C(x)\)
- Les extremums se trouvent aux points où la dérivée s'annule
- La loi de refroidissement de Newton est : \(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}\)
- Linéaire : \(f(x) = ax + b\) (variation constante)
- Quadratique : \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (accélération constante)
- Exponentielle : \(f(x) = a \cdot b^x\) (variation proportionnelle à la valeur actuelle)
- Logarithmique : \(f(x) = a \ln(x) + b\) (variation qui diminue avec x)
- Logistique : \(f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}\) (croissance limitée)
